Упр.34.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим неравенство $$ax^2+4x-3+a>0.$$

Чтобы оно выполнялось при любых $$x,$$ квадратный трехчлен должен быть положительным для всех $$x.$$ Для этого необходимо:

• ветви параболы были направлены вверх, то есть $$a>0;$$
• дискриминант был отрицательным: $$D<0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=4^2-4a(a-3)=16-4a^2+12a.$$

Тогда

$$16-4a^2+12a<0,$$

$$4a^2-12a-16>0,$$

$$a^2-3a-4>0,$$

$$\left(a-4\right)\left(a+1\right)>0.$$

Отсюда

$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>4.$$

С учетом условия $$a>0$$ получаем:

$$a>4.$$

Для случая, когда неравенство не имеет решений, нужно, чтобы парабола была направлена вниз и дискриминант был не положительным:

$$a<0,$$

$$D\le 0.$$

Тогда

$$16-4a^2+12a\le 0,$$

$$4a^2-12a-16\ge 0,$$

$$a^2-3a-4\ge 0,$$

$$\left(a-4\right)\left(a+1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$

С учетом условия $$a<0$$ получаем:

$$a\le -1.$$

Ответ

а) $$a\in(4;+\infty).$$

б) $$a\in(-\infty;-1].$$