Упр.34.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Для параболы $$y=(3a+1)x^2+2x-5$$ абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(3a+1)}=-\frac{1}{3a+1}.$$

Ордината вершины:

$$y_0=f(x_0)=\frac{3a+1}{(3a+1)^2}-\frac{2}{3a+1}-5=-\frac{15a+6}{3a+1}.$$

Чтобы вершина лежала внутри IV четверти, нужно

$$\begin{cases} x_0>0,\\ y_0<0. \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} -\dfrac{1}{3a+1}>0,\\[4pt] -\dfrac{15a+6}{3a+1}<0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} 3a+1<0,\\ 15a+6<0. \end{cases}$$

Отсюда

$$a<-\frac13,$$

то есть

$$a<-0{,}4.$$

б) Для параболы $$y=3x^2+(4a-1)x+3$$ абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{4a-1}{2\cdot 3}=\frac{1-4a}{6}.$$

Ордината вершины:

$$y_0=f(x_0)=\frac{35+8a-16a^2}{12}.$$

Чтобы вершина лежала внутри I четверти, нужно

$$\begin{cases} x_0>0,\\ y_0>0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$\frac{1-4a}{6}>0 \quad \Longrightarrow \quad a<\frac14.$$

Из второго неравенства:

$$35+8a-16a^2>0 \quad \Longrightarrow \quad 16a^2-8a-35<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-8)^2-4\cdot 16\cdot(-35)=2304,$$

$$a_{1,2}=\frac{8\pm 48}{32}, \quad a_1=-\frac54,\quad a_2=\frac74.$$

Тогда

$$-\frac54<a<\frac74.$$

Пересекаем с условием $$a<\frac14$$:

$$-\frac54<a<\frac14.$$

Ответ

а) $$a<-0{,}4.$$
б) $$-\frac54<a<\frac14.$$