Упр.34.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-(a-1)x-2a(a+1)}{x-3}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-(a-1)x-2a(a+1)=0,\qquad x\ne 3.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(a-1)^2+8a(a+1)=9a^2+6a+1=(3a+1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{a-1\pm(3a+1)}{2},$$

откуда

$$x_1=-a-1,\qquad x_2=2a.$$

Проверим, когда корни совпадают с запрещённым значением $$x=3$$:

$$-a-1=3 \Rightarrow a=-4,$$

$$2a=3 \Rightarrow a=\frac32,$$

$$3a+1=0 \Rightarrow a=-\frac13,$$

при этом

$$x=-\frac13-1=-\frac23.$$

Итак, если $$a=-\frac13,$$ то $$x=-\frac23;$$ если $$a=\frac32,$$ то $$x=3$$ не подходит, значит корней нет; если $$a=-4,$$ то $$x=-8.$$

При остальных значениях параметра

$$x_1=2a,\qquad x_2=-a-1.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x}{a(x+1)}-\frac{2}{x+2}=\frac{3-a^2}{a(x+1)(x+2)}.$$

ОДЗ:

$$a\ne 0,\qquad x\ne -1,\qquad x\ne -2.$$

Умножим уравнение на $$a(x+1)(x+2)$$:

$$x(x+2)-2a(x+1)=3-a^2.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2+(2-2a)x+(a^2-2a-3)=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(2-2a)^2-4(a^2-2a-3)=16.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2a-2\pm 4}{2},$$

то есть

$$x_1=a+1,\qquad x_2=a-3.$$

Проверим, когда корни нарушают ОДЗ:

$$a+1=-1 \Rightarrow a=-2,$$

$$a+1=-2 \Rightarrow a=-3,$$

$$a-3=-1 \Rightarrow a=2,$$

$$a-3=-2 \Rightarrow a=1.$$

Также при $$a=0$$ исходное уравнение не имеет смысла.

Следовательно:

при $$a=-3$$ получаем $$x=-6;$$
при $$a=-2$$ получаем $$x=-5;$$
при $$a=0$$ корней нет;
при $$a=1$$ получаем $$x=2;$$
при $$a=2$$ получаем $$x=3;$$
при остальных значениях $$a$$: $$x_1=a+1,\ x_2=a-3.$$

Ответ: а) при $$a=-\frac13$$, $$x=-\frac23$$; при $$a=\frac32$$ корней нет; при $$a=-4$$, $$x=-8$$; при остальных $$x_1=2a,\ x_2=-a-1$$. б) при $$a=-3$$, $$x=-6$$; при $$a=-2$$, $$x=-5$$; при $$a=0$$ корней нет; при $$a=1$$, $$x=2$$; при $$a=2$$, $$x=3$$; при остальных $$x_1=a+1,\ x_2=a-3$$.