Упр.34.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$c=\log_3 a.$$ Тогда при $$a>0$$ получаем уравнение

$$cx^2-(2c-1)x+c-2=0.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$c=0,$$ то уравнение становится линейным:

   $$x-2=0,$$

   то есть корень существует.

2. Если $$c\ne 0,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

   $$D=(2c-1)^2-4c(c-2)=4c^2-4c+1-4c^2+8c=1+4c.$$

   Чтобы уравнение имело корни, нужно

   $$D\ge 0,$$

   то есть

   $$1+4c\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad c\ge -\frac14.$$

Возвращаясь к $$c=\log_3 a,$$ получаем

$$\log_3 a\ge -\frac14.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ знак неравенства сохраняется:

$$a\ge 3^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}.$$

Кроме того, при $$c=0$$ имеем $$a=3^0=1,$$ и это значение уже входит в найденный промежуток.

Ответ

$$a\in\left[\frac{1}{\sqrt[4]{3}},+\infty\right).$$