Упр.34.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть корни уравнения $$x^2-8ax+27=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По условию $$x_1:x_2=3:1$$, значит можно положить

$$x_1=3k,\quad x_2=k.$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1x_2=27,\\ x_1+x_2=8a. \end{cases}$$

Тогда

$$3k\cdot k=27,$$

$$k^2=9,$$

$$k=\pm 3.$$

Следовательно,

$$x_1=3k=\pm 9,\quad x_2=k=\pm 3.$$

Из второго равенства получаем:

$$x_1+x_2=8a,$$

$$\pm 9\pm 3=8a,$$

$$8a=\pm 12,$$

$$a=\pm 1{,}5.$$

Ответ: $$a=\pm 1{,}5.$$

Пусть корни уравнения $$x^2-10ax+24=0$$ относятся как $$2:3$$. Тогда

$$x_1=2k,\quad x_2=3k.$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1x_2=24,\\ x_1+x_2=10a. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$2k\cdot 3k=24,$$

$$6k^2=24,$$

$$k^2=4,$$

$$k=\pm 2.$$

Тогда

$$x_1=2k=\pm 4,\quad x_2=3k=\pm 6.$$

Из второго уравнения:

$$x_1+x_2=10a,$$

$$\pm 4\pm 6=10a,$$

$$10a=\pm 10,$$

$$a=\pm 1.$$

Ответ: $$a=\pm 1.$$