Упр.33.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases} y-1=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right),\\ y+x^2=0; \end{cases}$$
   б) система $$\begin{cases} y=\sin 2x,\\ y-1=2x-\frac{\pi}{2}. \end{cases}$$

а) Преобразуем систему:

$$\begin{cases} y-1=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right) \\ y+x^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=1-\cos x \\ y=-x^2 \end{cases}$$

Найдём точки пересечения графиков функций $$y=1-\cos x$$ и $$y=-x^2$$.

При $$x=0$$ получаем:

$$y=1-\cos 0=0,\qquad y=-0^2=0.$$

Проверим, есть ли другие точки пересечения. Так как $$1-\cos x\ge 0$$, а $$-x^2\le 0$$, то равенство возможно только при

$$1-\cos x=0 \quad \text{и} \quad -x^2=0.$$

Отсюда $$x=0$$, $$y=0$$.

б) Преобразуем систему:

$$\begin{cases} y=\sin 2x \\ y-1=2x-\frac{\pi}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\sin 2x \\ y=2x-\frac{\pi}{2}+1 \end{cases}$$

Найдём точку пересечения графиков $$y=\sin 2x$$ и $$y=2x-\frac{\pi}{2}+1$$.

Проверим точку $$x=\frac{\pi}{4}$$:

$$y=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

$$y=2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+1=1.$$

Значит, точка пересечения — $$\left(\frac{\pi}{4};\,1\right)$$.

Ответ

а) $$\left(0;\,0\right)$$; б) $$\left(\frac{\pi}{4};\,1\right)$$.