Упр.33.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

а) $$\begin{cases} \dfrac{5}{3x-y}+\dfrac{3}{x-3y}=-2,\\ \dfrac{15}{3x-y}+\dfrac{2}{x-3y}=1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \dfrac{3}{x+y}+\dfrac{6}{x-y}=-1,\\ \dfrac{5}{x+y}+\dfrac{9}{x-y}=-2. \end{cases}$$

а) Введём новые переменные:

$$u=\frac{1}{3x-y}, \quad t=\frac{1}{x-3y}.$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} 5u+3t=-2,\\ 15u+2t=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} 15u+9t=-6,\\ 15u+2t=1. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$7t=-7,\quad t=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$5u+3\cdot(-1)=-2,$$

$$5u=1,\quad u=\frac{1}{5}.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} \frac{1}{3x-y}=\frac{1}{5},\\ \frac{1}{x-3y}=-1. \end{cases}$$

Отсюда:

$$\begin{cases} 3x-y=5,\\ x-3y=-1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$y=3x-5$$. Подставим во второе:

$$x-3(3x-5)=-1,$$

$$x-9x+15=-1,$$

$$-8x=-16,\quad x=2.$$

Тогда

$$y=3\cdot2-5=1.$$

б) Введём новые переменные:

$$u=\frac{1}{x+y}, \quad t=\frac{1}{x-y}.$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} 3u+6t=-1,\\ 5u+9t=-2. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$3$$:

$$\begin{cases} 15u+30t=-5,\\ 15u+27t=-6. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$3t=1,\quad t=\frac{1}{3}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3u+6\cdot\frac{1}{3}=-1,$$

$$3u+2=-1,$$

$$3u=-3,\quad u=-1.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} \frac{1}{x+y}=-1,\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{3}. \end{cases}$$

Отсюда:

$$\begin{cases} x+y=-1,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=2,\quad x=1.$$

Тогда

$$y=-1-1=-2.$$

Ответ

а) $$\left(2;\,1\right)$$; б) $$\left(1;\,-2\right)$$.