Упр.33.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Три целых числа образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Обозначим три числа через $$x,\ y,\ z.$$ Тогда по условию они образуют возрастающую геометрическую прогрессию, значит

$$y^2=xz.$$

Если второе число увеличить на $$6,$$ получим арифметическую прогрессию:

$$2(y+6)=x+z.$$

Если в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на $$5,$$ а второе — на $$1,$$ то снова получится геометрическая прогрессия:

$$\bigl(y+7\bigr)^2=(x+5)(z+5).$$

Из второго уравнения выразим $$z$$:

$$z=2(y+6)-x.$$

Из третьего уравнения раскроем скобки:

$$y^2+14y+49=xz+5x+5z+25.$$

Так как $$y^2=xz,$$ получаем

$$14y+49=5x+5z+25.$$

Подставим $$x+z=2(y+6):$$

$$14y+49=5\cdot 2(y+6)+25,$$

$$14y+49=10y+55,$$

$$4y=6,$$

$$y=9.$$

Тогда из $$2(y+6)=x+z$$ имеем

$$x+z=30.$$

А из $$y^2=xz$$ получаем

$$81=xz.$$

Следовательно, $$x$$ и $$z$$ — корни уравнения

$$t^2-30t+81=0.$$

Найдём корни:

$$D=30^2-4\cdot 81=900-324=576,$$

$$t=\frac{30\pm 24}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=3,\qquad t_2=27.$$

Так как прогрессия возрастающая, то

$$x=3,\quad y=9,\quad z=27.$$

Ответ

$$3;\ 9;\ 27.$$