Упр.33.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем

$$\frac{b_1}{1-q}=4,$$

откуда

$$b_1=4(1-q).$$

Сумма кубов членов прогрессии равна

$$b_1^3+b_2^3+b_3^3+\dots=192.$$

Так как $$b_n=b_1q^{n-1}$$, то

$$b_1^3\left(1+q^3+q^6+\dots\right)=192.$$

Это снова сумма бесконечной геометрической прогрессии, поэтому

$$b_1^3\cdot \frac{1}{1-q^3}=192.$$

Подставим $$b_1=4(1-q)$$:

$$64(1-q)^3\cdot \frac{1}{1-q^3}=192.$$

Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$$, получаем

$$64\cdot \frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}=192,$$

$$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}=3.$$

Тогда

$$1-2q+q^2=3+3q+3q^2,$$

$$2q^2+5q+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9,$$

$$q_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}.$$

Получаем

$$q_1=-2,\qquad q_2=-\frac12.$$

Так как дана убывающая прогрессия, подходит только $$q=-\frac12$$.

Тогда

$$b_1=4\left(1-\left(-\frac12\right)\right)=4\cdot \frac32=6.$$

Ответ: $$b_1=6,\ q=-\frac12.$$