Упр.33.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Из первого уравнения выразим $$y$$, а из второго — $$z$$:

$$y=-1-x,$$

$$z=x-2.$$

Подставим эти выражения в третье уравнение:

$$x(-1-x)+x(x-2)+(-1-x)(x-2)=-1.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$-x-x^2+x^2-2x-x+2-x^2+2x+1=-1,$$

$$-x^2-2x+3=0,$$

$$x^2+2x-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-3,\qquad x_2=1.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$ и $$z$$:

при $$x=-3$$:

$$y=-1-(-3)=2,\qquad z=-3-2=-5;$$

при $$x=1$$:

$$y=-1-1=-2,\qquad z=1-2=-1.$$

б) Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=-y-2z.$$

Из второго уравнения:

$$(-y-2z)+2y+z=1,$$

$$y-z=1,$$

$$y=1+z.$$

Тогда

$$x=-(1+z)-2z=-1-3z.$$

Подставим в третье уравнение:

$$(-1-3z)^2+(1+z)^2+z^2=5.$$

Раскроем скобки:

$$1+6z+9z^2+1+2z+z^2+z^2=5,$$

$$11z^2+8z-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2-4\cdot 11\cdot(-3)=64+132=196,$$

$$z_{1,2}=\frac{-8\pm 14}{22}.$$

Получаем:

$$z_1=-1,\qquad z_2=\frac{3}{11}.$$

Тогда

при $$z=-1$$:

$$y=1+(-1)=0,\qquad x=-1-3(-1)=2;$$

при $$z=\frac{3}{11}$$:

$$y=1+\frac{3}{11}=\frac{14}{11},\qquad x=-1-3\cdot\frac{3}{11}=-\frac{20}{11}.$$

Ответ

а) $$(-3;\,2;\,-5),\ (1;\,-2;\,-1).$$

б) $$(2;\,0;\,-1),\ \left(-\frac{20}{11};\,\frac{14}{11};\,\frac{3}{11}\right).$$