Упр.33.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
а) $$\begin{cases}\log_2 x-\log_3 y=-5,\\2\log_2 x+3\log_2 y=0;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\cos x+\cos 2y=-0{,}5,\\3\cos 2y-\cos x=2{,}5;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}2(x+2y)-\sqrt{2x+y}=6,\\3\sqrt{2x+y}-2(x+2y)=-2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}2\sin 2x+\operatorname{tg}3y=2,\\6\sin 2x-2\operatorname{tg}3y=1.\end{cases}$$
а) Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$\begin{aligned} \log_2 x-\log_3 y&=-5 \\ 3\log_2 x-3\log_3 y&=-15 \end{aligned}$$
Сложим его со вторым уравнением:
$$\begin{aligned} 3\log_2 x-3\log_3 y&=-15 \\ 2\log_2 x+3\log_3 y&=0 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad 5\log_2 x=-15$$
$$\log_2 x=-3,\qquad x=2^{-3}=\frac18.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-3-\log_3 y=-5,\qquad \log_3 y=2,\qquad y=3^2=9.$$
Ответ: $$\left(\frac18;9\right).$$
б) Сложим уравнения системы:
$$\begin{aligned} \cos x+\cos 2y&=-0{,}5 \\ 3\cos 2y-\cos x&=2{,}5 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad 4\cos 2y=2$$
$$\cos 2y=\frac12.$$
Тогда
$$2y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$y=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Из первого уравнения:
$$\cos x+\frac12=-\frac12,\qquad \cos x=-1,$$
значит
$$x=\pi+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$\left(\pi+2\pi k;\ \pm \frac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$
в) Обозначим
$$u=\sqrt{2x+y}.$$
Тогда система принимает вид:
$$\begin{aligned} 2u-2^{x+2y}&=6,\\ 3u-2^{x+2y}&=-2. \end{aligned}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$-u=8 \quad\Rightarrow\quad u=2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{2x+y}=2,\qquad 2x+y=4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2^{x+2y}-2=6,\qquad 2^{x+2y}=8=2^3,$$
значит
$$x+2y=3.$$
Решим систему
$$\begin{aligned} 2x+y&=4,\\ x+2y&=3. \end{aligned}$$
Умножим второе уравнение на $$2$$ и вычтем первое:
$$\begin{aligned} 2x+4y&=6,\\ 2x+y&=4 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad 3y=2,\qquad y=\frac23.$$
Тогда
$$2x+\frac23=4,\qquad 2x=\frac{10}{3},\qquad x=\frac53.$$
Ответ: $$\left(\frac53;\frac23\right).$$
г) Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$\begin{aligned} 2\sin 2x+\tg 3y&=2 \\ 6\sin 2x-2\tg 3y&=1 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad \begin{aligned} 4\sin 2x+2\tg 3y&=4 \\ 6\sin 2x-2\tg 3y&=1 \end{aligned}$$
Сложим уравнения:
$$10\sin 2x=5,\qquad \sin 2x=\frac12.$$
Тогда
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$
Из первого уравнения:
$$2\cdot \frac12+\tg 3y=2,\qquad \tg 3y=1.$$
Следовательно,
$$3y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$y=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}.$$
Ответ: $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
