Упр.33.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Из второго уравнения получаем:

$$y^3=8(2\sin x+1)^3 \;\Rightarrow\; y=2(2\sin x+1)=4\sin x+2.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$-2\le y\le 6.$$

Рассмотрим первое уравнение:

$$2^{\left|3\cos^2 x+10\sin x+10\right|}=25\cdot 5^y.$$

Подставим $$y=4\sin x+2$$:

$$25\cdot 5^y=25\cdot 5^{4\sin x+2}=5^{4\sin x+4}.$$

Левая часть не меньше единицы, значит и правая должна быть не меньше единицы. Тогда удобно приравнять показатели к нулю:

$$2^{\left|3\cos^2 x+10\sin x+10\right|}=1,$$

$$25\cdot 5^y=1.$$

Из второго равенства сразу получаем:

$$y=-2.$$

Тогда из $$y=4\sin x+2$$ имеем:

$$4\sin x+2=-2,$$

$$\sin x=-1.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим первое уравнение при $$\sin x=-1$$:

$$3\cos^2 x+10\sin x+10=3\cdot 0+10\cdot(-1)+10=0,$$

значит

$$2^{|0|}=1,$$

что верно.

Ответ: $$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,-2\right),\; n\in\mathbb Z.$$