Упр.33.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) система $$\sin x\sin y=-\frac{1}{2}$$, $$\operatorname{tg}x\operatorname{ctg}y=1$$;

б) система $$\cos y\cos x=\frac{1}{4}$$, $$\operatorname{tg}y=\operatorname{ctg}x$$.

а) Из второго уравнения:

$$\tg x\cdot \ctg y=1$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos y}{\sin y}=1$$

$$\sin x\cos y=\cos x\sin y$$

$$\sin(x-y)=0$$

$$x-y=2\pi n \quad \text{или} \quad x-y=\pi+2\pi n$$

Из первого уравнения:

$$\sin x\sin y=-\frac12$$

$$\frac12\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr)=-\frac12$$

$$\cos(x-y)-\cos(x+y)=-1$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x-y=2\pi n,$$ то

$$1-\cos(x+y)=-1,$$

откуда $$\cos(x+y)=2,$$ что невозможно.

2) Если $$x-y=\pi+2\pi n,$$ то

$$-1-\cos(x+y)=-1,$$

следовательно,

$$\cos(x+y)=0,$$

$$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi k.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} x-y=\pi+2\pi n,\\ x+y=\frac{\pi}{2}+\pi k. \end{cases}$$

Складывая и вычитая уравнения, получаем:

$$x=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k+2n), \qquad y=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k-2n).$$

б) Из второго уравнения:

$$\tg y=\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

$$\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\cos x}{\sin x}$$

$$\sin y\sin x=\cos x\cos y$$

$$\cos(x+y)=0$$

$$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Из первого уравнения:

$$\cos y\cdot \cos x=-\frac14$$

$$\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr)=-\frac14$$

Так как $$\cos(x+y)=0,$$ то

$$\cos(x-y)=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x-y=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$x-y=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$ то

$$\begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\ x-y=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \end{cases}$$

откуда

$$x=\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n+2k), \qquad y=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n-2k).$$

2) Если $$x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$ то

$$\begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\ x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \end{cases}$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n+2k), \qquad y=\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n-2k).$$

Ответ:

а) $$\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k+2n);\,-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k-2n)\right), \quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n+2k);\,-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n-2k)\right),$$

$$\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n+2k);\;\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{2}(n-2k)\right), \quad n,k\in\mathbb Z.$$