Упр.33.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$u=\sin x,$$ $$t=\cos y.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} u+t=0,\\ u^2+t^2=\dfrac12. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=-t.$$ Подставим во второе:

$$(-t)^2+t^2=\dfrac12 \\ 2t^2=\dfrac12 \\ t^2=\dfrac14 \\ t=\pm \dfrac12.$$

Тогда $$u=-t=\mp \dfrac12.$$ Получаем две пары значений.

1) Если $$\sin x=-\dfrac12,$$ $$\cos y=\dfrac12,$$ то

$$x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k.$$

2) Если $$\sin x=\dfrac12,$$ $$\cos y=-\dfrac12,$$ то

$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

б) Преобразуем второе уравнение:

$$\sin^2 x+\sin^2 y=1{,}75$$

$$(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 y)=1{,}75$$

$$\cos^2 x+\cos^2 y=0{,}25.$$

Обозначим $$u=\cos x,$$ $$t=\cos y.$$ Тогда

$$\begin{cases} u+t=0{,}5,\\ u^2+t^2=0{,}25. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=0{,}5-t.$$ Подставим во второе:

$$(0{,}5-t)^2+t^2=0{,}25$$

$$0{,}25- t+t^2+t^2=0{,}25$$

$$2t^2-t=0$$

$$t(2t-1)=0.$$

Отсюда $$t_1=0,$$ $$t_2=\dfrac12.$$ Тогда

при $$t_1=0$$ имеем $$u=\dfrac12,$$ а при $$t_2=\dfrac12$$ имеем $$u=0.$$

1) Если $$\cos x=\dfrac12,$$ $$\cos y=0,$$ то

$$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k.$$

2) Если $$\cos x=0,$$ $$\cos y=\dfrac12,$$ то

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\qquad y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k.$$

Ответ

а) $$\left((-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$