Упр.33.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Обозначим $$a=\log_2 x,\quad b=\log_2 y.$$ Тогда первое уравнение системы

$$\log_2^2 y+\log_2 x\cdot \log_2 y-2\log_2^2 x=0$$

примет вид

$$b^2+ab-2a^2=0,$$

или

$$b^2+2ab-ab-2a^2=0,$$

$$b(b+a)+2a(b-a)=0,$$

$$(b+2a)(b-a)=0.$$

Отсюда возможны два случая.

1. $$b+2a=0,$$ то есть $$\log_2 y=-2\log_2 x,$$ значит

   $$y=\frac{1}{x^2}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$9x^2\cdot \frac{1}{x^2}-x\left(\frac{1}{x^2}\right)^2=1,$$

   $$9-\frac{1}{x^3}=1,$$

   $$\frac{1}{x^3}=8,$$

   $$x=\frac12,\quad y=\frac{1}{\left(\frac12\right)^2}=4.$$

2. $$b-a=0,$$ то есть $$\log_2 y=\log_2 x,$$ значит

   $$y=x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$9x^2\cdot x-x\cdot x^2=1,$$

   $$8x^3=1,$$

   $$x=\frac12,\quad y=\frac12.$$

Ответ: $$\left(\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac12;4\right).$$