Упр.33.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{\pi}{3}-x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sin x\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac14.$$

Используем формулу:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x.$$

Тогда

$$\sin x\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x\right)=\frac14.$$

После преобразований получаем:

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Значит,

$$2x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$y=\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{6}-\pi n.$$

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{\pi}{4}-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sin^2 x+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac12.$$

Раскроем квадрат косинуса:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x=\frac{\sqrt2}{2}(\cos x+\sin x).$$

Тогда

$$\sin^2 x+\frac12(\cos x+\sin x)^2=\frac12.$$

Раскроем скобки:

$$\sin^2 x+\frac12(\cos^2 x+2\sin x\cos x+\sin^2 x)=\frac12,$$

$$2\sin^2 x+1+2\sin x\cos x=1,$$

$$2\sin x(\sin x+\cos x)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin x=0,$$ тогда $$x=\pi n,$$ и

$$y=\frac{\pi}{4}-\pi n.$$

2) $$\sin x+\cos x=0,$$ тогда $$\tg x=-1,$$ значит

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$y=\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{2}-\pi n.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \frac{\pi}{6}-\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\pi n;\ \frac{\pi}{4}-\pi n\right),\ \left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}-\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$