Упр.33.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а)

$$\begin{cases} \tg^2 x+\sin y=2,\\ 3\sin y+\tg^2 x=0. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(\tg^2 x+\sin y)-(\tg^2 x+3\sin y)=2-0,$$
$$-2\sin y=2,$$
$$\sin y=-1.$$

Тогда

$$y=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из первого уравнения:

$$\tg^2 x-1=2,$$
$$\tg^2 x=3,$$
$$\tg x=\pm\sqrt3.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ:

$$\left(\pm\frac{\pi}{3}+\pi k;\,-\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\begin{cases} \cos(x+y)+\sin xy=1,\\ 2\sin xy+\cos(x+y)=-1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$2\cos(x+y)+2\sin xy=2.$$

Вычтем из него второе уравнение:

$$\cos(x+y)=3.$$

Но для косинуса всегда $$-1\le \cos(x+y)\le 1,$$ значит, это невозможно. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: корней нет.

в)

$$\begin{cases} y-1=\left(\frac13\right)^x,\\ \sin x=y. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$y=1+\left(\frac13\right)^x.$$

Так как $$\left(\frac13\right)^x>0,$$ то

$$y>1.$$

Из второго уравнения:

$$y=\sin x,\qquad -1\le \sin x\le 1.$$

Получаем противоречие: число $$y$$ не может одновременно быть больше $$1$$ и не превосходить $$1$$. Значит, решений нет.

Ответ: корней нет.

г)

$$\begin{cases} 2\sin(x+y)-3\cos(x-y)=5,\\ 7\cos(x-y)+5\sin(x+y)=-2. \end{cases}$$

Положим

$$u=\sin(x+y),\qquad t=\cos(x-y).$$

Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} 2u-3t=5,\\ 5u+7t=-2. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$2$$:

$$\begin{cases} 10u-15t=25,\\ 10u+14t=-4. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-29t=29,\qquad t=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2u-3(-1)=5,$$
$$2u=2,$$
$$u=1.$$

Возвращаемся к замене:

$$\sin(x+y)=1,\qquad \cos(x-y)=-1.$$

Отсюда

$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x-y=\pi+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Сложим и вычтем эти равенства:

$$2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi(n+k),$$
$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k),$$

$$2y=-\frac{\pi}{2}+2\pi(n-k),$$
$$y=-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k).$$

Ответ:

$$\left(\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k);\,-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k)\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$