Упр.33.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) система:
   $$\begin{cases} x^2+\lg x=y^2+\lg y,\\ \sqrt{x-y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}=4; \end{cases}$$
   б) система:
   $$\begin{cases} x+2\sqrt{x}=y+2\sqrt{y},\\ x^2+x+y^2+y=12. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

а)

Пусть $$f(x)=x^2+\lg x.$$ Тогда при $$x>0$$

$$f'(x)=2x+\frac{1}{x}=\frac{2x^2+1}{x}>0,$$

значит, функция $$f(x)$$ возрастает. Поэтому из равенства

$$x^2+\lg x=y^2+\lg y$$

следует $$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\sqrt{x-y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}=4.$$

Так как $$x=y,$$ получаем

$$\sqrt{0}+2\sqrt{x}=4,$$

$$2\sqrt{x}=4,$$

$$\sqrt{x}=2,$$

$$x=4.$$

Тогда $$y=4.$$

б)

Пусть $$f(x)=x+2\sqrt{x}.$$ При $$x\ge 0$$

$$f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x}}>0,$$

значит, функция $$f(x)$$ возрастает. Следовательно, из равенства

$$x+2\sqrt{x}=y+2\sqrt{y}$$

получаем $$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$x^2+x+y^2+y=12,$$

$$2x^2+2x-12=0,$$

$$x^2+x-6=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0.$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем $$x=2.$$ Тогда $$y=2.$$

Ответ: а) $$\left(4;4\right)$$; б) $$\left(2;2\right)$$.