Упр.33.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$t=\log_x y.$$ Тогда из первого уравнения системы получаем

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2t$$:

$$2t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

Значит, возможны два случая.

1) $$\log_x y=\frac12$$

Тогда $$y=x^{1/2}=\sqrt{x}.$$ Подставим во второе уравнение:

$$4\sqrt{x}-3\sqrt{\sqrt{x}}=1.$$

Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=u^2$$ и $$\sqrt{\sqrt{x}}=u.$$ Получаем

$$4u^2-3u-1=0.$$

$$D=9+16=25,$$

$$u_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\qquad u_2=\frac{3+5}{8}=1.$$

Так как $$u=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ значение $$u_1$$ не подходит, а $$u_2=1.$$ Тогда

$$x=u^4=1,\qquad y=\sqrt{x}=1.$$

Но при $$x=1$$ логарифм не определён, значит этот случай не подходит.

2) $$\log_x y=2$$

Тогда $$y=x^2.$$ Подставим во второе уравнение:

$$4\sqrt{x}-3\sqrt{x^2}=1.$$

Так как $$x>0,$$ то $$\sqrt{x^2}=x.$$ Получаем

$$4\sqrt{x}-3x=1.$$

Положим $$u=\sqrt{x}$$, тогда $$x=u^2$$. Имеем

$$4u-3u^2=1,$$

$$3u^2-4u+1=0.$$

$$D=16-12=4,$$

$$u_1=\frac{4-2}{6}=\frac13,\qquad u_2=\frac{4+2}{6}=1.$$

Тогда

$$x=u^2=\frac19 \quad \text{или} \quad x=1.$$

Значение $$x=1$$ не подходит, а при $$x=\frac19$$ получаем

$$y=x^2=\left(\frac19\right)^2=\frac1{81}.$$

Ответ: $$\left(\frac19;\frac1{81}\right).$$