Упр.33.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y. \end{cases}$$

Область определения: $$x>0,\ y>0.$$

Из второго уравнения:

$$\log_3 x-\log_3 3=\log_3 2-\log_3 y,$$

$$\log_3\frac{x}{3}=\log_3\frac{2}{y},$$

$$\frac{x}{3}=\frac{2}{y},\qquad xy=6.$$

Из первого уравнения:

$$0{,}5\log_{\pi}\pi^2=0{,}5\cdot 2=1,$$

значит

$$\log_{13}(x^2+y^2)=1,\qquad x^2+y^2=13.$$

Подставим $$y=\frac{6}{x}$$:

$$x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13,$$

$$x^4-13x^2+36=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-13t+36=0,$$

$$D=13^2-4\cdot 36=25,$$

$$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad t_2=\frac{13+5}{2}=9.$$

Следовательно,

$$x^2=4 \Rightarrow x=2,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=3.$$

Тогда

$$y=\frac{6}{2}=3,\qquad y=\frac{6}{3}=2.$$

Получаем пары решений: $$(2;3)$$ и $$(3;2)$$.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_7 3-\log_7(x-y). \end{cases}$$

Из равенства правых частей:

$$4\log_7(x-y)=5\log_7 3-\log_7(x-y),$$

$$5\log_7(x-y)=5\log_7 3,$$

$$\log_7(x-y)=\log_7 3,$$

$$x-y=3.$$

Тогда $$y=x-3$$. Подставим в первое уравнение:

$$\log_7(x+(x-3))=4\log_7 3,$$

$$\log_7(2x-3)=\log_7 3^4,$$

$$2x-3=81,$$

$$2x=84,\qquad x=42.$$

Тогда

$$y=42-3=39.$$

Пара решений: $$(42;39)$$.

Ответ

а) $$(2;3),\ (3;2)$$; б) $$(42;39)$$.