Упр.33.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$t=6^x,\quad t>0.$$ Тогда система

$$\begin{cases} 6^{2x}+6^x\cdot y=12,\\ y^2+y\cdot 6^x=-8 \end{cases}$$

примет вид

$$\begin{cases} t^2+ty=12,\\ y^2+ty=-8. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$ty$$:

$$ty=12-t^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$y^2+12-t^2=-8,$$

$$y^2=t^2-20.$$

Теперь используем равенство $$ty=12-t^2$$ и подставим $$y=\dfrac{12-t^2}{t}$$ в выражение для $$y^2$$:

$$\left(\frac{12-t^2}{t}\right)^2=t^2-20.$$

Умножим на $$t^2$$:

$$(12-t^2)^2=t^4-20t^2.$$

Раскроем скобки:

$$144-24t^2+t^4=t^4-20t^2.$$

$$144-4t^2=0,$$

$$t^2=36,$$

$$t=6 \quad (\text{так как } t>0).$$

Тогда

$$6^x=6 \Rightarrow x=1.$$

Найдём $$y$$:

$$y=\frac{12-t^2}{t}=\frac{12-36}{6}=-4.$$

Проверка:

$$6^{2\cdot 1}+6^1\cdot(-4)=36-24=12,$$

$$(-4)^2+(-4)\cdot 6=16-24=-8.$$

Ответ

$$(1;\,-4).$$