Упр.33.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$2^x\cdot 0{,}25^{-y}=512,$$ $$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5.$$
Так как $$0{,}25=\frac14=2^{-2},$$ то
$$2^x\cdot \left(2^{-2}\right)^{-y}=2^9,$$
$$2^x\cdot 2^{2y}=2^9,$$
$$x+2y=9,$$
$$x=9-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5.$$
Возведём в квадрат:
$$9-2y+4\sqrt{y(9-2y)}+4y=25,$$
$$4\sqrt{9y-2y^2}=16-2y,$$
$$16(9y-2y^2)=(16-2y)^2.$$
Получаем:
$$144y-32y^2=256-64y+4y^2,$$
$$36y^2-208y+256=0,$$
$$9y^2-52y+64=0.$$
Найдём корни:
$$D=52^2-4\cdot 9\cdot 64=400,$$
$$y_{1,2}=\frac{52\pm 20}{18},$$
$$y_1=\frac{16}{9},\quad y_2=4.$$
Область определения:
$$9-2y\ge 0,\quad y\ge 0,$$
откуда $$0\le y\le \frac92.$$
Значение $$y=4$$ подходит, а $$y=\frac{16}{9}$$ тоже подходит. Тогда
$$x=9-2y.$$
Если $$y=\frac{16}{9},$$ то
$$x=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9}.$$
Если $$y=4,$$ то
$$x=9-2\cdot 4=1.$$
Ответ: $$\left(\frac{49}{9};\frac{16}{9}\right),\ (1;4).$$
б) $$9^x\cdot 3^{y-3}=729,$$ $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1.$$
Так как $$729=3^6,$$ а $$9^x=(3^2)^x=3^{2x},$$ то
$$3^{2x}\cdot 3^{y-3}=3^6,$$
$$2x+y-3=6,$$
$$2x+y=9,$$
$$y=9-2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1.$$
Перенесём:
$$\sqrt{x}=1+\sqrt{9-2x}.$$
Возведём в квадрат:
$$x=1+2\sqrt{9-2x}+9-2x,$$
$$3x-10=2\sqrt{9-2x}.$$
Снова возведём в квадрат:
$$\left(3x-10\right)^2=4(9-2x),$$
$$9x^2-60x+100=36-8x,$$
$$9x^2-52x+64=0.$$
Найдём корни:
$$D=52^2-4\cdot 9\cdot 64=400,$$
$$x_{1,2}=\frac{52\pm 20}{18},$$
$$x_1=\frac{16}{9},\quad x_2=4.$$
Область определения:
$$x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad 3x-10\ge 0,$$
то есть $$x\ge \frac{10}{3}.$$
Из найденных корней подходит только $$x=4.$$ Тогда
$$y=9-2\cdot 4=1.$$
Ответ: $$\left(4;1\right).$$
