Упр.33.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 5^a=5^{3-b},\\ (0{,}25)^y=\dfrac{1}{2^{16}}. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$(0{,}25)^y=\left(\dfrac14\right)^y=\left(\dfrac12\right)^{2y}=\left(\dfrac12\right)^{16},$$

откуда

$$2y=16,\quad y=8.$$

Тогда из первого уравнения:

$$\sqrt[3]{x}=3-\sqrt[3]{y}=3-\sqrt[3]{8}=3-2=1,$$

значит

$$x=1.$$

Проверка: $$y=8$$ действительно подходит.

Ответ: $$(1;8).$$

б) Из второго уравнения:

$$\dfrac{8^{\sqrt[3]{x-2y}}}{16^{\sqrt[3]{x+y}}}=4.$$

Представим всё в виде степеней двойки:

$$\dfrac{2^{3\sqrt[3]{x-2y}}}{2^{4\sqrt[3]{x+y}}}=2^2,$$

следовательно,

$$3\sqrt[3]{x-2y}-4\sqrt[3]{x+y}=2.$$

Из первого уравнения:

$$32^{\sqrt[3]{x-2y}}\cdot 8^{\sqrt[3]{x+y}}=2^{13}.$$

Переходим к основанию $$2$$:

$$2^{5\sqrt[3]{x-2y}}\cdot 2^{3\sqrt[3]{x+y}}=2^{13},$$

значит

$$5\sqrt[3]{x-2y}+3\sqrt[3]{x+y}=13.$$

Обозначим

$$u=\sqrt[3]{x-2y}, \quad v=\sqrt[3]{x+y}.$$

Тогда получаем систему

$$\begin{cases} 5u+3v=13,\\ 3u-4v=2. \end{cases}$$

Решим её:

$$\begin{cases} 20u+12v=52,\\ 9u-12v=6. \end{cases}$$

Складываем:

$$29u=58,\quad u=2.$$

Тогда

$$5\cdot 2+3v=13,\quad 3v=3,\quad v=1.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{x-2y}=2,\quad \sqrt[3]{x+y}=1.$$

Отсюда

$$x-2y=8,\quad x+y=1.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x-2y=8,\\ x+y=1. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-3y=7,\quad y=-\dfrac{7}{3}.$$

Тогда

$$x=1-y=1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{10}{3}.$$

Ответ: $$(\dfrac{10}{3};-\dfrac{7}{3}).$$