Упр.33.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 2^{6x-2y}=4^{x+y+10},\\ 3^{x^2}=3^{11+y}. \end{cases}$$

Так как $$4=2^2,$$ то первое уравнение можно записать так:

$$2^{6x-2y}=2^{2(x+y+10)}.$$

Тогда приравниваем показатели:

$$6x-2y=2x+2y+20,$$

$$4x-4y=20,$$

$$x-y=5,$$

$$y=x-5.$$

Из второго уравнения:

$$x^2=11+y.$$

Подставим $$y=x-5$$:

$$x^2=11+x-5,$$

$$x^2-x-6=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=3,\quad x_2=-2.$$

Тогда

$$y_1=3-5=-2,\quad y_2=-2-5=-7.$$

Ответ: $$(-2;\,-7),\ (3;\,-2).$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{343^{x/y}}{7^{x-y}}=49,\\ \dfrac{5^{x/y}}{25^{x-y}}=1. \end{cases}$$

Пусть

$$a=\frac{x}{y},\qquad b=x-y.$$

Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} \dfrac{343^a}{7^b}=49,\\ \dfrac{5^a}{25^b}=1. \end{cases}$$

Так как $$343=7^3,$$ $$49=7^2,$$ $$25=5^2,$$ получаем:

$$\begin{cases} 7^{3a-b}=7^2,\\ 5^{a-2b}=5^0. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} 3a-b=2,\\ a-2b=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$a=2b.$$ Подставим в первое:

$$3\cdot 2b-b=2,$$

$$5b=2,$$

$$b=0{,}4.$$

Тогда

$$a=2\cdot 0{,}4=0{,}8.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$\frac{x}{y}=0{,}8,\qquad x-y=0{,}4.$$

Из первого уравнения $$x=0{,}8y.$$ Подставим во второе:

$$0{,}8y-y=0{,}4,$$

$$-0{,}2y=0{,}4,$$

$$y=-2.$$

Тогда

$$x=0{,}8\cdot(-2)=-1{,}6.$$

Ответ: $$(-1{,}6;\,-2).$$