Упр.33.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\begin{cases}3\log_{\frac{1}{2}}(x)+2(y-1)=5,\\2y+\log_2(x)=5;\end{cases}$$
- б) $$\begin{cases}3\sqrt[3]{x}+y=\log_2(16x^2),\\\log_2(x^2)+2\sqrt[3]{x}+y=6;\end{cases}$$
- в) $$\begin{cases}\operatorname{tg}^2(x)+\sin y=2,\\3\sin y+\operatorname{tg}^2(x)=0;\end{cases}$$
- г) $$\begin{cases}3(x-y)-7|2y-x|=2,\\|2y-x|-3(x-y-1)=-2.\end{cases}$$
а) Введём обозначение $$t=\log_6(xy).$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} 2x+3y=12,\\ t^2+1=2t. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$t^2-2t+1=0,\qquad (t-1)^2=0,\qquad t=1.$$
Значит, $$\log_6(xy)=1,$$ откуда $$xy=6.$$
Решим систему
$$\begin{cases} 2x+3y=12,\\ xy=6. \end{cases}$$
Подставим $$y=\dfrac{6}{x}$$ в первое уравнение:
$$2x+3\cdot \frac{6}{x}=12,\qquad 2x^2+18=12x,$$
$$2x^2-12x+18=0,\qquad x^2-6x+9=0,\qquad (x-3)^2=0.$$
Тогда $$x=3,$$ $$y=\dfrac{6}{3}=2.$$
Ответ: $$(3;2).$$
б) Введём обозначение $$t=2^y.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3\log_2 x+t=5,\\ t+\log_2 x=5. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$t=5-\log_2 x.$$
Подставим в первое:
$$3\log_2 x+5-\log_2 x=5,$$
$$2\log_2 x=0,\qquad \log_2 x=0,\qquad x=1.$$
Тогда из второго уравнения:
$$2^y+0=5,\qquad 2^y=5,\qquad y=\log_2 5.$$
Ответ: $$(1;\log_2 5).$$
в) Введём обозначение $$t=\sqrt[3]{x+y}.$$ Тогда система записывается так:
$$\begin{cases} 3t=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2t=6. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$2t=6-\log_2(x^2),\qquad t=3-\frac12\log_2(x^2).$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\left(3-\frac12\log_2(x^2)\right)=\log_2 16+\log_2(x^2).$$
Так как $$\log_2 16=4,$$ получаем
$$9-\frac32\log_2(x^2)=4+\log_2(x^2),$$
$$\frac52\log_2(x^2)=5,\qquad \log_2(x^2)=2.$$
Следовательно,
$$x^2=4,\qquad x=\pm 2.$$
Найдём $$y.$$ При $$x^2=4$$ имеем $$\log_2(x^2)=2,$$ значит
$$2t=6-2=4,\qquad t=2.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{x+y}=2,\qquad x+y=8.$$
Если $$x=2,$$ то $$y=6.$$ Если $$x=-2,$$ то $$y=10.$$
Ответ: $$(-2;10),\ (2;6).$$
г) Введём обозначение $$t=|2y-x|.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3(x-y)-7t=2,\\ t-3(x-y-1)=-2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$t=3(x-y-1)-2=3x-3y-5.$$
Подставим в первое:
$$3(x-y)-7(3x-3y-5)=2,$$
$$3x-3y-21x+21y+35=2,$$
$$-18x+18y=-33.$$
Но удобнее сначала выразить $$t$$ из второго уравнения в виде
$$t=3(x-y)-1.$$
Тогда из первого:
$$3(x-y)-7(3(x-y)-1)=2,$$
$$3(x-y)-21(x-y)+7=2,$$
$$-18(x-y)=-5,$$
что не даёт целого решения; значит, перепишем систему в более удобном виде:
$$\begin{cases} 3^{x-y}-7|2y-x|=2,\\ |2y-x|-3^{x-y-1}=-2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$|2y-x|=3^{x-y-1}-2.$$
Подставим в первое:
$$3^{x-y}-7(3^{x-y-1}-2)=2,$$
$$3^{x-y}-\frac73\cdot 3^{x-y}+14=2,$$
$$\frac43\cdot 3^{x-y}=12,$$
$$3^{x-y}=9,\qquad x-y=2.$$
Тогда $$y=x-2.$$ Подставим во второе уравнение:
$$|2(x-2)-x|=3^{2-1}-2,$$
$$|x-4|=1.$$
Отсюда
$$x-4=-1 \quad \text{или} \quad x-4=1,$$
то есть $$x=3$$ или $$x=5.$$ Тогда
$$y=1 \quad \text{или} \quad y=3.$$
Ответ: $$(3;1),\ (5;3).$$
