Упр.33.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\sqrt{x+1}-y=2,\\ \log_7(4-x)=y;\end{cases}$$

   б) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{y-x}{2x}}-\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{2},\\ 16\sqrt{\frac{x}{x+y}}-7\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1;\end{cases}$$

   в) $$\begin{cases}2(y+x)-3(x-y)=1,\\ 2(x+y)+3(x-y)=3;\end{cases}$$

   г) $$\begin{cases}y+x=1,\\ 2(x-y)=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\cdot(8^2/3)/2.\end{cases}$$

а) Обозначим $$a=y+x,\quad b=x-y.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 2^a-3^b=1,\\ 2^a+3^b=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2\cdot 2^a=4 \Rightarrow 2^a=2 \Rightarrow a=1.$$

Тогда из второго уравнения

$$2+3^b=3 \Rightarrow 3^b=1 \Rightarrow b=0.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=0. \end{cases}$$

Отсюда $$x=y$$, значит $$2x=1$$, $$x=\dfrac12$$, $$y=\dfrac12$$.

Ответ: $$\left(\dfrac12;\dfrac12\right).$$

б) Обозначим

$$a=\frac{y-x}{2x},\quad b=\frac{x}{x+y}.$$

Тогда

$$\begin{cases} a-b=\dfrac12,\\ 16b-7a=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=a-\dfrac12$$. Подставим во второе:

$$16\left(a-\frac12\right)-7a=1,$$

$$16a-8-7a=1,$$

$$9a=9,\quad a=1.$$

Тогда

$$b=1-\frac12=\frac12.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$\begin{cases} \dfrac{y-x}{2x}=1,\\[4pt] \dfrac{x}{x+y}=\dfrac12. \end{cases}$$

Из первого уравнения

$$y-x=2x \Rightarrow y=3x.$$

Из второго

$$2x=x+y \Rightarrow x=y.$$

Тогда $$x=y=0$$, но это не подходит, так как в исходной системе знаменатели не должны обращаться в нуль. Следовательно, решение отсутствует.

Ответ: решений нет.

в) Сложим уравнения системы:

$$\begin{cases} 2^{x+y}-3^{x-y}=1,\\ 2^{x+y}+3^{x-y}=3. \end{cases}$$

Получаем

$$2\cdot 2^{x+y}=4 \Rightarrow 2^{x+y}=2 \Rightarrow x+y=1.$$

Тогда из первого уравнения

$$2-3^{x-y}=1 \Rightarrow 3^{x-y}=1 \Rightarrow x-y=0.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=0. \end{cases}$$

Отсюда $$x=y=\dfrac12.$$

Ответ: $$\left(\dfrac12;\dfrac12\right).$$

г) Из первого уравнения

$$x+y=1 \Rightarrow y=1-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2^{x-y}=\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}.$$

Вычислим правую часть:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad 8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=4,$$

$$4\cdot \frac{4}{2}=8=2^3.$$

Значит,

$$2^{x-y}=2^3 \Rightarrow x-y=3.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2x=4 \Rightarrow x=2,$$

$$y=1-2=-1.$$

Ответ: $$\left(2;-1\right).$$