Упр.33.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\begin{cases}2\sqrt{3y+x}-\sqrt{6y-x}=x,\\\sqrt{3y+x}+\sqrt{6y-x}=3y.\end{cases}$$
• б) $$\begin{cases}\sqrt{2x-3y}+\sqrt{4x+3y}=2x,\\2\sqrt{2x-3y}=\sqrt{4x+3y}-3y.\end{cases}$$

а) Обозначим $$a=\sqrt{3y+x},\quad b=\sqrt{6y-x}.$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} 2a-b=x,\\ a+b=3y. \end{cases}$$

Из первого уравнения и второго, умноженного на $$2$$, получаем:

$$2a-b=x,\qquad 2a+2b=6y.$$

Сложим уравнения системы в исходном виде:

$$2\sqrt{3y+x}-\sqrt{6y-x}+\sqrt{3y+x}+\sqrt{6y-x}=x+3y,$$

откуда

$$3\sqrt{3y+x}=x+3y.$$

Так как $$\sqrt{3y+x}\ge 0,$$ то

$$\sqrt{3y+x}=3,\qquad x+3y=9.$$

Следовательно, $$x=9-3y.$$ Подставим в первое уравнение:

$$2\sqrt{3y+9-3y}-\sqrt{6y-9+3y}=9-3y,$$

$$2\sqrt{9}-\sqrt{9y-9}=9-3y,$$

$$6-\sqrt{9(y-1)}=9-3y.$$

Получаем

$$3\sqrt{y-1}=3y-3,$$

$$\sqrt{y-1}=y-1.$$

Отсюда

$$y-1=0 \quad \text{или} \quad y-1=1,$$

то есть $$y=1$$ или $$y=2.$$ Тогда

$$x=9-3y,$$

и получаем пары $$(x,y)=(6,1)$$ и $$(x,y)=(3,2).$$

Теперь рассмотрим случай $$x+3y=0.$$ Тогда

$$\sqrt{3y+x}=0,\qquad 3y+x=0.$$

Из второго уравнения системы:

$$\sqrt{6y-x}=3y.$$

Возводим в квадрат:

$$6y-x=9y^2.$$

Совместно с $$x=-3y$$ получаем

$$6y+3y=9y^2,$$

$$9y=9y^2,$$

$$y(y-1)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=1.$$ Тогда

$$x=-3y,$$

то есть $$(x,y)=(0,0)$$ и $$(x,y)=(-3,1).$$

Итак,

$$(x,y)\in\{(-3,1),(0,0),(3,2),(6,1)\}.$$

б) Обозначим

$$a=\sqrt{2x-3y},\quad b=\sqrt{4x+3y}.$$

Тогда система равносильна

$$\begin{cases} a+b=2x,\\ 2a=b-3y. \end{cases}$$

Из первого уравнения и второго, умноженного на $$2$$, получаем:

$$3\sqrt{2x-3y}=2x-3y.$$

Следовательно,

$$\sqrt{2x-3y}=3,\qquad 2x-3y=9$$

или

$$2x-3y=0.$$

1) Если $$2x-3y=9,$$ то $$x=\dfrac{9+3y}{2}.$$ Подставим в первое уравнение:

$$2\sqrt{9+3y-3y}=\sqrt{18+6y+3y}-3y,$$

$$2\sqrt{9}=\sqrt{18+9y}-3y,$$

$$6=\sqrt{9(2+y)}-3y,$$

$$\sqrt{2+y}=2+y.$$

Отсюда

$$2+y=0 \quad \text{или} \quad 2+y=1,$$

то есть $$y=-2$$ или $$y=-1.$$ Тогда

$$x=\frac{9+3y}{2},$$

и получаем $$(x,y)=(3,-2)$$ и $$(x,y)=\left(3,-1\right).$$

2) Если $$2x-3y=0,$$ то $$x=\dfrac{3y}{2}.$$ Подставим во второе уравнение:

$$2\sqrt{2x-3y}=\sqrt{4x+3y}-3y,$$

$$\sqrt{9y}=3y,$$

$$3\sqrt{y}=3y,$$

$$\sqrt{y}=y.$$

Отсюда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=1.$$

Тогда $$x=\dfrac{3y}{2},$$ значит получаем $$(0,0)$$ и $$\left(\dfrac{3}{2},1\right).$$

Итак,

$$(x,y)\in\left\{(0,0),\left(\frac32,-2\right),\left(\frac32,1\right),(3,-1)\right\}.$$

Ответ

а) $$(-3;1),\ (0;0),\ (3;2),\ (6;1).$$
б) $$(0;0),\ \left(\frac32;-2\right),\ \left(\frac32;1\right),\ (3;-1).$$