Упр.33.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$ Тогда

$$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$3t$$:

$$3t^2-10t+3=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$t_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}, \qquad t_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

Из второго уравнения системы:

$$x+2y=9,\qquad x=9-2y.$$

1) Пусть $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{1}{3}.$$ Тогда

$$\sqrt{9-2y}+\sqrt{y}=\frac{1}{3}.$$

После преобразований получаем противоречие с областью допустимых значений, поэтому этот случай решений не даёт.

2) Пусть $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=3.$$ Тогда

$$\sqrt{9-2y}+\sqrt{y}=3,$$

$$9-2y+2\sqrt{y(9-2y)}+y=9,$$

$$2\sqrt{y(9-2y)}=y,$$

$$4(9y-2y^2)=y^2,$$

$$36y-8y^2=y^2,$$

$$9y^2-36y=0,$$

$$9y(y-4)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=4.$$

Тогда

$$x=9-2y,$$

и получаем пары:

$$y=0 \Rightarrow x=9,$$

$$y=4 \Rightarrow x=1.$$

Следовательно, решения системы:

$$(1;4),\ (9;0).$$

б) Обозначим $$t=\sqrt{x}+2\sqrt{y}.$$ Тогда

$$t+\frac{1}{t}=\frac{65}{8}.$$

Умножим на $$8t$$:

$$8t^2-65t+8=0.$$

$$D=65^2-4\cdot 8\cdot 8=3969,$$

$$t_1=\frac{65-63}{16}=\frac{1}{8}, \qquad t_2=\frac{65+63}{16}=8.$$

Из первого уравнения системы:

$$3x-y=3,\qquad y=3x-3.$$

1) Пусть $$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\frac{1}{8}.$$ Тогда

$$\sqrt{x}+2\sqrt{3x-3}=\frac{1}{8}.$$

Правая часть слишком мала, а левая неотрицательна и при допустимых значениях не может дать такое равенство, поэтому этот случай решений не даёт.

2) Пусть $$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=8.$$ Тогда

$$\sqrt{x}+2\sqrt{3x-3}=8,$$

$$x+4\sqrt{x(3x-3)}+4(3x-3)=64,$$

$$4\sqrt{3x^2-3x}=76-13x.$$

Возведём в квадрат:

$$16(3x^2-3x)=5776-1976x+169x^2,$$

$$48x^2-48x=5776-1976x+169x^2,$$

$$121x^2-1928x+5776=0.$$

$$D=1928^2-4\cdot 121\cdot 5776=921600,$$

$$x_1=\frac{1928-960}{242}=4,\qquad x_2=\frac{1928+960}{242}=\frac{1444}{121}.$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=4$$, тогда

$$y=3\cdot 4-3=9.$$

Итак, решение системы:

$$(4;9).$$

Ответ

а) $$(1;4),\ (9;0)$$; б) $$(4;9)$$.