Упр.33.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Пусть $$t=\sqrt{\frac{x}{y}}, \quad t>0.$$ Тогда $$\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{t}.$$
а)
Из первого уравнения получаем:
$$t+\frac{1}{t}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$$
Умножим на $$t\sqrt{2}:$$
$$t^2\sqrt{2}-3t+\sqrt{2}=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm1}{2\sqrt{2}}.$$
Отсюда
$$t_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad t_2=\sqrt{2}.$$
1) Если $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$ то $$\frac{x}{y}=\frac12,$$ значит $$y=2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{x}+\sqrt{2x}=\sqrt{2}+1.$$
Положим $$\sqrt{x}=u,$$ тогда
$$u+\sqrt{2}\,u=\sqrt{2}+1,$$
$$u(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+1,$$
$$u=1,$$
следовательно, $$x=1,\ y=2.$$
2) Если $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{2},$$ то $$\frac{x}{y}=2,$$ значит $$x=2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{2y}+\sqrt{y}=\sqrt{2}+1.$$
Положим $$\sqrt{y}=u,$$ тогда
$$\sqrt{2}\,u+u=\sqrt{2}+1,$$
$$u(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+1,$$
$$u=1,$$
следовательно, $$y=1,\ x=2.$$
Итак, решения системы:
$$(x,y)=(1,2), \quad (2,1).$$
б)
Пусть $$t=\sqrt{\frac{y}{x}}, \quad t>0.$$ Тогда $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{1}{t}.$$
Из первого уравнения:
$$t-2\cdot\frac{1}{t}=1.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-t-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm3}{2},$$
откуда $$t_1=2,\ t_2=-1.$$
Так как $$t>0,$$ то подходит только $$t=2.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{y}{x}}=2 \Rightarrow \frac{y}{x}=4 \Rightarrow y=4x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{5x+4x}+\sqrt{5x-4x}=4,$$
$$\sqrt{9x}+\sqrt{x}=4,$$
$$3\sqrt{x}+\sqrt{x}=4,$$
$$4\sqrt{x}=4,$$
$$\sqrt{x}=1,$$
$$x=1,\quad y=4.$$
Проверка: $$\sqrt{\frac{4}{1}}-2\sqrt{\frac{1}{4}}=2-1=1,$$ $$\sqrt{5\cdot1+4}+\sqrt{5\cdot1-4}=3+1=4.$$
Ответ: а) $$(1,2),\ (2,1);$$ б) $$(1,4).$$
