Упр.33.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}},$$ тогда из первого уравнения системы получаем

$$u+2=\frac{3}{u}.$$

Умножим на $$u$$:

$$u^2+2u=3,$$

$$u^2+2u-3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

$$u_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$u_1=1,\qquad u_2=-3.$$

Так как $$u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}\ge 0,$$ значение $$u=-3$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}=1.$$

Тогда

$$\frac{x+3y}{y+5}=1,$$

$$x+3y=y+5,$$

$$x=5-2y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$xy+2x=13-4y,$$

$$y(5-2y)+2(5-2y)=13-4y,$$

$$5y-2y^2+10-4y=13-4y,$$

$$2y^2-5y+3=0.$$

Решаем уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}.$$

Тогда

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{3}{2}.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$x=5-2y.$$

Если $$y=1,$$ то $$x=3.$$

Если $$y=\frac{3}{2},$$ то $$x=2.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

Ответ: $$(3;1),\ (2;\tfrac{3}{2}).$$