Упр.33.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$u=\sqrt[3]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} u+v=5,\\ uv=\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{216}=6. \end{cases}$$

Значит, числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+6=0.$$

Решаем:

$$t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=3$$.

Тогда

$$\sqrt[3]{x}=2,\ \sqrt[3]{y}=3 \quad \Rightarrow \quad x=8,\ y=27;$$

или

$$\sqrt[3]{x}=3,\ \sqrt[3]{y}=2 \quad \Rightarrow \quad x=27,\ y=8.$$

б) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} u-v=1,\\ \sqrt{xy}=4. \end{cases}$$

Так как $$u^4=x$$ и $$v^4=y$$, то из второго уравнения получаем

$$xy=16.$$

Кроме того, $$u=\sqrt[4]{x}\ge 0$$ и $$v=\sqrt[4]{y}\ge 0$$. Из системы

$$\begin{cases} u-v=1,\\ uv=2 \end{cases}$$

получаем уравнение

$$t^2-t-2=0.$$

Тогда

$$(t-2)(t+1)=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=-1$$. Значение $$t=-1$$ не подходит, так как $$u\ge 0$$ и $$v\ge 0$$.

Следовательно, $$u=2$$, $$v=1$$, значит

$$x=2^4=16,\qquad y=1^4=1.$$

Ответ

а) $$(8;27),\ (27;8)$$

б) $$(16;1)$$