Упр.33.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}x+y=\frac{\pi}{4},\\ \sin x\sin y=-\frac{1}{2}\sqrt{2};\end{cases}$$

   б) $$\begin{cases}3x=y+1,\\ 7(y-2x+2)=7(y-4x+1)+6;\end{cases}$$

   в) $$\begin{cases}x=2y,\\ \log_{\frac{1}{3}}(2y+x)+\log_{\frac{1}{3}}(x-y+1)=\log_3\left(\frac{1}{y+1}\right);\end{cases}$$

   г) $$\begin{cases}\sqrt{7-6x-y^2}=y+5,\\ y=x-1.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{\pi}{4}-x.$$

Подставим во второе уравнение и воспользуемся формулой $$2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)$$:

$$2\sin x\sin y=-\frac{1}{\sqrt2}$$

$$\cos(x-y)-\cos(x+y)=-\frac{1}{\sqrt2}$$

$$\cos\left(x-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)-\cos\left(x+\frac{\pi}{4}-x\right)=-\frac{1}{\sqrt2}$$

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}$$

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$2x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$

$$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi n}{2} =-\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z.$$

Ход решения

б) Из первого уравнения:

$$y=3x-1.$$

Подставим во второе:

$$7(3x-1)-2x+2=7(3x-1)-4x+1+6$$

$$7^{x+1}=7^{-x}+6$$

Умножим на $$7^x$$:

$$7\cdot 7^{2x}-6\cdot 7^x-1=0.$$

Пусть $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$ и

$$7t^2-6t-1=0.$$

$$D=36+28=64,\quad t_1=\frac{6-8}{14}=-\frac17,\quad t_2=\frac{6+8}{14}=1.$$

Так как $$t>0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда

$$7^x=1,\quad x=0,\quad y=3\cdot 0-1=-1.$$

Ответ: $$(0;-1).$$

Ход решения

в) Из первого уравнения:

$$x=2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\log_{\frac13}(2y+x)+\log_{\frac13}(x-y+1)=\log_3\frac1{y+1}$$

$$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_3\frac1{y+1}.$$

Так как $$\log_{\frac13} a=-\log_3 a$$, получаем:

$$-\log_3(4y)-\log_3(y+1)=-\log_3(y+1)$$

$$\log_3(4y(y+1))=\log_3(y+1).$$

Отсюда

$$4y(y+1)=y+1$$

$$(4y-1)(y+1)=0.$$

С учётом области определения:

$$4y>0,\quad y+1>0 \;\Rightarrow\; y>0.$$

Значит, $$y=\frac14$$, тогда

$$x=2y=\frac12.$$

Ответ: $$\left(\frac12;\frac14\right).$$

Ход решения

г) Из второго уравнения:

$$y=x-1.$$

Подставим в первое:

$$\sqrt{7-6x-(x-1)^2}=x-1+5=x+4.$$

$$\sqrt{7-6x-x^2+2x-1}=x+4$$

$$\sqrt{-x^2-4x+6}=x+4.$$

Возведём в квадрат:

$$-x^2-4x+6=(x+4)^2$$

$$-x^2-4x+6=x^2+8x+16$$

$$2x^2+12x+10=0$$

$$x^2+6x+5=0$$

$$(x+1)(x+5)=0.$$

Проверим область определения:

$$-x^2-4x+6\ge 0,\quad x+4\ge 0.$$

Из найденных корней подходит только $$x=-1$$. Тогда

$$y=x-1=-2.$$

Ответ: $$(-1;-2).$$