Упр.33.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Из второго уравнения получаем $$y=2x-4.$$ Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{x-(2x-4)}+\sqrt{x+3(2x-4)}=4,$$

$$\sqrt{4-x}+\sqrt{7x-12}=4.$$

Возведём в квадрат:

$$4-x+2\sqrt{(4-x)(7x-12)}+7x-12=16,$$

$$2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=24-6x,$$

$$\sqrt{(4-x)(7x-12)}=12-3x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$(4-x)(7x-12)=(12-3x)^2,$$

$$-7x^2+40x-48=144-72x+9x^2,$$

$$16x^2-112x+192=0,$$

$$x^2-7x+12=0,$$

$$x_1=3,\quad x_2=4.$$

Проверим по формуле $$y=2x-4$$:

$$x=3 \Rightarrow y=2,$$

$$x=4 \Rightarrow y=4.$$

Оба решения подходят.

б) Из первого уравнения получаем $$y=5-3x.$$ Подставим во второе:

$$\sqrt{2x+(5-3x)}+\sqrt{6x-3(5-3x)}=2,$$

$$\sqrt{5-x}+\sqrt{15x-15}=2.$$

Возведём в квадрат:

$$5-x+2\sqrt{(5-x)(15x-15)}+15x-15=4,$$

$$2\sqrt{(5-x)(15x-15)}=14-14x,$$

$$\sqrt{(5-x)(15x-15)}=7-7x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$(5-x)(15x-15)=(7-7x)^2,$$

$$-15x^2+90x-75=49-98x+49x^2,$$

$$64x^2-188x+124=0,$$

$$16x^2-47x+31=0.$$

Найдём корни:

$$D=47^2-4\cdot16\cdot31=2209-1984=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{47\pm15}{32},$$

$$x_1=1,\quad x_2=\frac{31}{16}.$$

Проверим область определения:

$$5-x\ge 0,\quad 15x-15\ge 0,$$

откуда $$x\le 5$$ и $$x\ge 1.$$

При $$x=\frac{31}{16}$$ получаем $$7-7x<0,$$ значит это значение не подходит. Остаётся $$x=1.$$ Тогда

$$y=5-3\cdot1=2.$$

Ответ: $$(1;2).$$

Ответ

а) $$(3;2),\ (4;4)$$; б) $$(1;2)$$.