Упр.33.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$s=x+y.$$ Тогда из второго уравнения системы получаем

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\;\Rightarrow\;\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\;\Rightarrow\;xy=3s.$$

Первое уравнение преобразуем так:

$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12\;\Rightarrow\;\frac{x^3+y^3}{xy}=12.$$

Так как $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$ то

$$\frac{s(x^2-xy+y^2)}{xy}=12.$$

Подставим $$xy=3s$$:

$$\frac{s(x^2-xy+y^2)}{3s}=12\;\Rightarrow\;x^2-xy+y^2=36.$$

Но

$$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=s^2-9s,$$

значит

$$s^2-9s-36=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$

$$s_{1,2}=\frac{9\pm 15}{2},\quad s_1=12,\; s_2=-3.$$

1) Если $$s=12,$$ то $$xy=36.$$ Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-12t+36=0,$$

откуда $$t=6.$$ Следовательно, $$x=6,\; y=6.$$

2) Если $$s=-3,$$ то $$xy=-9.$$ Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2+3t-9=0,$$

откуда

$$t=\frac{-3\pm \sqrt{45}}{2}.$$

Значит,

$$\left(\frac{-3+\sqrt{45}}{2},\frac{-3-\sqrt{45}}{2}\right),\quad \left(\frac{-3-\sqrt{45}}{2},\frac{-3+\sqrt{45}}{2}\right).$$

Ответ

$$(6;6),\ \left(\frac{-3+\sqrt{45}}{2};\frac{-3-\sqrt{45}}{2}\right),\ \left(\frac{-3-\sqrt{45}}{2};\frac{-3+\sqrt{45}}{2}\right).$$

б) Обозначим $$s=x+y.$$ Тогда из первого уравнения

$$xy(x+y)=20\;\Rightarrow\;xys=20.$$

Из второго уравнения

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{4}\;\Rightarrow\;\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{4}.$$

Подставим $$xy=\frac{20}{s}:$$

$$\frac{s}{20/s}=\frac{5}{4}\;\Rightarrow\;\frac{s^2}{20}=\frac{5}{4}\;\Rightarrow\;s^2=25,$$

то есть $$s=5$$ или $$s=-5.$$

1) Если $$s=5,$$ то $$xy=\frac{20}{5}=4.$$ Тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

откуда $$t=1$$ или $$t=4.$$ Получаем пару $$(1;4).$$

2) Если $$s=-5,$$ то $$xy=\frac{20}{-5}=-4.$$ Тогда

$$t^2+5t-4=0,$$

откуда

$$t=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{2}.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2};\frac{-5-\sqrt{41}}{2}\right),\quad \left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2};\frac{-5+\sqrt{41}}{2}\right).$$

Ответ

$$(1;4),\ (4;1),\ \left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2};\frac{-5-\sqrt{41}}{2}\right),\ \left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2};\frac{-5+\sqrt{41}}{2}\right).$$