Упр.33.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}x-2xy+y=-17,\\x^2+y^2=25;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}x+y+x^2+y^2=18,\\xy+x^2+y^2=19.\end{cases}$$

Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b.$$

а)

Имеем систему

$$\begin{cases} a-2b=-17,\\ a^2-2b=25. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$a^2-a=42,$$

$$a^2-a-42=0,$$

$$D=1+168=169,$$

$$a_1=\frac{1-13}{2}=-6,\qquad a_2=\frac{1+13}{2}=7.$$

1) Если $$a=-6,$$ то

$$-6-2b=-17 \Rightarrow 2b=11 \Rightarrow b=5{,}5.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=-6,\\ xy=5{,}5. \end{cases}$$

Корни уравнения $$t^2+6t+5{,}5=0$$ равны

$$t=\frac{-6\pm\sqrt{36-22}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{14}}{2}.$$

Значит,

$$\left(\frac{-6-\sqrt{14}}{2},\frac{-6+\sqrt{14}}{2}\right),\quad \left(\frac{-6+\sqrt{14}}{2},\frac{-6-\sqrt{14}}{2}\right).$$

2) Если $$a=7,$$ то

$$7-2b=-17 \Rightarrow 2b=24 \Rightarrow b=12.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=7,\\ xy=12. \end{cases}$$

Корни уравнения $$t^2-7t+12=0$$: $$t=3$$ и $$t=4.$$

Следовательно, $$(x,y)=(3,4)$$ или $$(4,3).$$

б)

Имеем систему

$$\begin{cases} a+a^2-2b=18,\\ b+a^2-2b=19. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$a^2-b=19 \Rightarrow b=a^2-19.$$

Подставим в первое:

$$a+a^2-2(a^2-19)=18,$$

$$-a^2+a+20=0,$$

$$a^2-a-20=0,$$

$$D=1+80=81,$$

$$a_1=\frac{1-9}{2}=-4,\qquad a_2=\frac{1+9}{2}=5.$$

1) Если $$a=5,$$ то

$$b=5^2-19=6.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases}$$

Корни уравнения $$t^2-5t+6=0$$: $$t=2$$ и $$t=3.$$

Следовательно, $$(x,y)=(2,3)$$ или $$(3,2).$$

2) Если $$a=-4,$$ то

$$b=(-4)^2-19=-3.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=-4,\\ xy=-3. \end{cases}$$

Корни уравнения $$t^2+4t-3=0$$:

$$t=\frac{-4\pm\sqrt{16+12}}{2}=-2\pm\sqrt7.$$

Значит,

$$(-2-\sqrt7,\,-2+\sqrt7),\quad (-2+\sqrt7,\,-2-\sqrt7).$$

Ответ

а) $$(3,4),\ (4,3),\ \left(\frac{-6-\sqrt{14}}{2},\frac{-6+\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(\frac{-6+\sqrt{14}}{2},\frac{-6-\sqrt{14}}{2}\right).$$

б) $$(2,3),\ (3,2),\ (-2-\sqrt7,\,-2+\sqrt7),\ (-2+\sqrt7,\,-2-\sqrt7).$$