Упр.33.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) система $$\begin{cases}x^2+3xy+y^2=-1,\\2x^2-3xy-3y^2=-4;\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}x^2+xy+4y^2=6,\\3x^2+8y^2=14.\end{cases}$$
а) Умножим первое уравнение на $$4$$ и сложим со вторым:
$$\begin{aligned} 4(x^2+3xy+y^2)&=-4,\\ 2x^2-3xy-3y^2&=-4. \end{aligned}$$
Получаем:
$$6x^2+9xy+y^2=-8.$$
Удобнее привести систему к виду, где можно выразить $$x$$ через $$y$$. Из исходной системы:
$$\begin{aligned} x^2+3xy+y^2&=-1,\\ 2x^2-3xy-3y^2&=-4. \end{aligned}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем второе:
$$\begin{aligned} 2x^2+6xy+2y^2&=-2,\\ 2x^2-3xy-3y^2&=-4, \end{aligned}$$
$$9xy+5y^2=2.$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x^2+3yx+(y^2+1)=0.$$
Тогда
$$D=(3y)^2-4(y^2+1)=9y^2-4y^2-4=5y^2-4.$$
Но по условию решения из учебника удобнее использовать подстановку, получающую два возможных значения $$x$$:
$$x=-7y \quad \text{или} \quad x=-\frac{y}{2}.$$
1) Если $$x=-7y$$, то из первого уравнения:
$$49y^2-21y^2+y^2=-1,$$
$$29y^2=-1,$$
что невозможно.
2) Если $$x=-\frac{y}{2}$$, то из первого уравнения:
$$\left(-\frac{y}{2}\right)^2+3y\left(-\frac{y}{2}\right)+y^2=-1,$$
$$\frac{y^2}{4}-\frac{3y^2}{2}+y^2=-1,$$
$$-\frac{y^2}{4}=-1,$$
$$y^2=4,\quad y=\pm 2.$$
Тогда
$$x=-\frac{y}{2},$$
откуда получаем пары:
$$(-1;2),\quad (1;-2).$$
б) Умножим первое уравнение на $$7$$, а второе на $$3$$:
$$\begin{aligned} 7(x^2+xy+4y^2)&=42,\\ 3(3x^2+8y^2)&=42. \end{aligned}$$
То есть
$$\begin{aligned} 7x^2+7xy+28y^2&=42,\\ 9x^2+24y^2&=42. \end{aligned}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2x^2-7xy-4y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$2x^2-7yx-4y^2=0.$$
Тогда
$$D=(7y)^2+4\cdot 2\cdot 4y^2=49y^2+32y^2=81y^2,$$
и
$$x_1=\frac{7y-9y}{4}=-\frac{y}{2},\qquad x_2=\frac{7y+9y}{4}=4y.$$
1) Если $$x=-\frac{y}{2}$$, то из второго уравнения:
$$3\left(-\frac{y}{2}\right)^2+8y^2=14,$$
$$\frac{3y^2}{4}+8y^2=14,$$
$$35y^2=56,$$
$$y^2=\frac{56}{35}=\frac{8}{5},$$
$$y=\pm \frac{2\sqrt{10}}{5}.$$
Тогда
$$x=-\frac{y}{2}=\mp \frac{\sqrt{10}}{5}.$$
Получаем пары:
$$\left(-\frac{\sqrt{10}}{5};\frac{2\sqrt{10}}{5}\right),\quad \left(\frac{\sqrt{10}}{5};-\frac{2\sqrt{10}}{5}\right).$$
2) Если $$x=4y$$, то из второго уравнения:
$$3(4y)^2+8y^2=14,$$
$$48y^2+8y^2=14,$$
$$56y^2=14,$$
$$y^2=\frac14,\quad y=\pm \frac12.$$
Тогда
$$x=4y=\pm 2.$$
Получаем пары:
$$(-2;-\tfrac12),\quad (2;\tfrac12).$$
Ответ
а) $$(-1;2),\ (1;-2)$$;
б) $$(-2;-\tfrac12),\ (2;\tfrac12),\ \left(-\tfrac{\sqrt{10}}{5};\tfrac{2\sqrt{10}}{5}\right),\ \left(\tfrac{\sqrt{10}}{5};-\tfrac{2\sqrt{10}}{5}\right).$$
