Упр.33.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) система
$$\begin{cases} 2x^2+xy-y^2=0,\\ y^2-3xy=16; \end{cases}$$
б) система
$$\begin{cases} 3x^2-xy=10x^2,\\ x^2-2xy+y^2=4. \end{cases}$$
а) Рассмотрим первое уравнение как однородное:
$$2x^2+xy-y^2=0.$$
Если $$y\neq 0,$$ разделим уравнение на $$y^2$$:
$$2\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}-1=0.$$
Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда
$$2t^2+t-1=0,$$
$$\left(2t-1\right)\left(t+1\right)=0.$$
Отсюда
$$t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=-1,$$
то есть
$$y=2x \quad \text{или} \quad x=-y.$$
Подставим в второе уравнение $$y^2-3xy=16.$$
1) Если $$y=2x,$$ то
$$4x^2-3x\cdot 2x=16,$$
$$4x^2-6x^2=16,$$
$$-2x^2=16,$$
$$x^2=-8,$$
действительных решений нет.
2) Если $$x=-y,$$ то
$$y^2-3(-y)\cdot y=16,$$
$$y^2+3y^2=16,$$
$$4y^2=16,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда $$x=-y,$$ значит получаем пары:
$$(-2;2),\quad (2;-2).$$
б) Первое уравнение системы:
$$3x^2-xy=10y^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$3x^2-xy-10y^2=0.$$
Если $$y\neq 0,$$ разделим на $$y^2$$:
$$3\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}-10=0.$$
Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда
$$3t^2-t-10=0,$$
$$\left(3t+5\right)\left(t-2\right)=0.$$
Следовательно,
$$t=-\frac53 \quad \text{или} \quad t=2,$$
то есть
$$x=-\frac53y \quad \text{или} \quad x=2y.$$
Второе уравнение:
$$x^2-2xy+y^2=4,$$
$$\left(x-y\right)^2=4,$$
$$x-y=\pm 2.$$
1) Если $$x=-\frac53y,$$ то
$$-\frac53y-y=\pm 2,$$
$$-\frac83y=\pm 2,$$
$$y=\mp \frac34.$$
Тогда
$$x=-\frac53\left(\mp \frac34\right)=\pm \frac54.$$
Получаем пары:
$$\left(\frac54;-\frac34\right),\quad \left(-\frac54;\frac34\right).$$
2) Если $$x=2y,$$ то
$$2y-y=\pm 2,$$
$$y=\pm 2,$$
$$x=2y=\pm 4.$$
Получаем пары:
$$\left(4;2\right),\quad \left(-4;-2\right).$$
Ответ
а) $$(-2;2),\ (2;-2).$$
б) $$(-4;-2),\ (4;2),\ \left(-\frac54;\frac34\right),\ \left(\frac54;-\frac34\right).$$
