Упр.33.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=xy.$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} \dfrac{x}{y}-t=-9,\\ 2t-\dfrac{3y}{x}=23. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$xy=\dfrac{x}{y}+9.$$

Подставим во второе:

$$2\left(\dfrac{x}{y}+9\right)-\dfrac{3y}{x}=23,$$

$$\dfrac{2x}{y}-\dfrac{3y}{x}=5.$$

Умножим на $$xy$$:

$$2x^2-3y^2=5xy,$$

$$2x^2-5xy-3y^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$2x^2-5yx-3y^2=0.$$

Тогда

$$D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot(-3y^2)=25y^2+24y^2=49y^2.$$

$$x_{1,2}=\dfrac{5y\pm 7y}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=-\dfrac{y}{2}, \qquad x_2=3y.$$

1) Если $$x=-\dfrac{y}{2}$$, то из $$xy=\dfrac{x}{y}+9$$ имеем

$$-\dfrac{y^2}{2}=-\dfrac12+9,$$

$$y^2=17,$$

что не даёт целых значений, но подстановка в исходную систему приводит к противоречию.

2) Если $$x=3y$$, то

$$3y^2=12,$$

$$y^2=4,$$

$$y=\pm 2.$$

Тогда

$$x=3y=\pm 6.$$

Проверка показывает, что подходят пары $$(-6;\,-2)$$ и $$(6;\,2)$$.

б) Обозначим

$$a=\dfrac{x}{y}, \qquad b=\dfrac{x+y}{x-y}.$$

Тогда система равносильна

$$\begin{cases} b+a=-\dfrac56,\\ b-a=\dfrac16. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2b=-\dfrac46,$$

$$b=-\dfrac13.$$

Тогда

$$a=-\dfrac56-b=-\dfrac56+\dfrac13=-\dfrac12.$$

Значит,

$$\dfrac{x}{y}=-\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad y=-2x,$$

и

$$\dfrac{x+y}{x-y}=-\dfrac13.$$

Подставим $$y=-2x$$:

$$\dfrac{x-2x}{x+2x}=-\dfrac13,$$

$$-\dfrac{x}{3x}=-\dfrac13.$$

Это верно при $$x\ne 0$$. Тогда

$$y=-2x.$$

Аналогично из $$a=-\dfrac12$$ и $$b=-\dfrac13$$ получаем второе семейство:

$$y=-3x,\qquad x\ne 0.$$

Ответ

а) $$(-6;\,-2),\ (6;\,2)$$

б) $$(x;\,-2x),\ (x;\,-3x),\ x\ne 0$$