Упр.33.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 33.13. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases} y+2x=3, \\ x^2+y^2=2; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} x^4-y^4=15, \\ x^4+y^4=17; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} 2\sin(x+y)-3\cos(x-y)=5, \\ 7\cos(x-y)+5\sin(x+y)=-2; \end{cases}$$
   г) $$\begin{cases} \dfrac{y}{9}=\dfrac{1}{3}x, \\ y=\log_2(x). \end{cases}$$

1. Положим $$u=x^4,\quad v=y^4.$$ Тогда система принимает вид

   $$\begin{cases} u-v=15,\\ u+v=17. \end{cases}$$

2. Сложим уравнения системы:

   $$2u=32,\quad u=16.$$

3. Подставим $$u=16$$ в первое уравнение:

   $$16-v=15,\quad v=1.$$

4. Теперь найдём $$x$$ и $$y$$:

   $$x^4=16 \Rightarrow x=\pm 2,$$

   $$y^4=1 \Rightarrow y=\pm 1.$$

   Подходят все сочетания знаков, так как в уравнениях стоят только четвёртые степени.

Ответ

$$(2;1),\ (2;-1),\ (-2;1),\ (-2;-1).$$