Упр.33.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Система $$\begin{cases}x^2+y^2=13,\\x^4-y^4=65.\end{cases}$$

б) Система $$\begin{cases}2x^4=x^2y^2+1,\\3x^4=x^2y^2+2.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения получаем:

$$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=65.$$

Так как $$x^2+y^2=13,$$ то

$$13(x^2-y^2)=65,$$

$$x^2-y^2=5.$$

Сложим и вычтем полученные равенства:

$$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5 \end{cases}$$

$$2x^2=18,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$

$$y^2=13-9=4,\quad y=\pm 2.$$

Следовательно,

$$(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2).$$

б) Вычтем первое уравнение из второго:

$$3x^4-2x^4=(x^2y^2+2)-(x^2y^2+1),$$

$$x^4=1,$$

$$x=\pm 1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2\cdot 1=x^2y^2+1,$$

$$x^2y^2=1.$$

Так как $$x^2=1,$$ то

$$y^2=1,\quad y=\pm 1.$$

Значит, решения системы:

$$(-1;-1),\;(-1;1),\;(1;-1),\;(1;1).$$

Ответ

а) $$(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2).$$

б) $$(-1;-1),\;(-1;1),\;(1;-1),\;(1;1).$$