Упр.33.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 33.15. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}(2x+y)(x+3y)=48,\\[2pt]\dfrac{2x+y}{x+3y}=\dfrac{3}{4};\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\dfrac{x-3}{y+2}=4,\\[2pt](x-3)^2+(y+2)^2=17.\end{cases}$$

а) Обозначим $$u=2x+y,$$ $$t=x+3y.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} ut=48,\\ \dfrac{u}{t}=\dfrac34. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем $$u=\dfrac34t.$$ Подставим в первое:

$$\dfrac34t\cdot t=48,$$

$$t^2=64,\quad t=\pm 8.$$

Тогда

$$u=\dfrac34\cdot(\pm 8)=\pm 6.$$

1) Если $$u=-6,$$ $$t=-8,$$ то

$$\begin{cases} 2x+y=-6,\\ x+3y=-8. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$y=-2x-6.$$ Подставим во второе:

$$x+3(-2x-6)=-8,$$

$$-5x=10,\quad x=-2,$$

$$y=-2\cdot(-2)-6=-2.$$

2) Если $$u=6,$$ $$t=8,$$ то

$$\begin{cases} 2x+y=6,\\ x+3y=8. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$y=6-2x.$$ Подставим во второе:

$$x+3(6-2x)=8,$$

$$-5x=-10,\quad x=2,$$

$$y=6-2\cdot 2=2.$$

б) Обозначим $$u=x-3,$$ $$t=y+2.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} \dfrac{u}{t}=4,\\ u^2+t^2=17. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=4t.$$ Подставим во второе:

$$(4t)^2+t^2=17,$$

$$17t^2=17,\quad t^2=1,\quad t=\pm 1.$$

Тогда

$$u=4(\pm 1)=\pm 4.$$

1) Если $$u=-4,$$ $$t=-1,$$ то

$$x-3=-4,\quad y+2=-1,$$

откуда

$$x=-1,\quad y=-3.$$

2) Если $$u=4,$$ $$t=1,$$ то

$$x-3=4,\quad y+2=1,$$

откуда

$$x=7,\quad y=-1.$$

Ответ

а) $$(-2;\,-2),\ (2;\,2)$$; б) $$(-1;\,-3),\ (7;\,-1)$$.