Упр.33.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений методом подстановки:
   а) $$\begin{cases}x+y=3,\\x^2+2y^2-xy+2x-3y=3;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}y=2+x,\\x^3-y^2=-8;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}x+y=5,\\x^3+y^3=35;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}x+2y=1,\\2x^2+3xy-3y^2=6.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=3-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+2(3-x)^2-x(3-x)+2x-3(3-x)=3.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+18-12x+2x^2-3x+x^2+2x-9+3x-3=3,$$

$$4x^2-10x+6=0,$$

$$2x^2-5x+3=0.$$

$$D=25-24=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm1}{4}.$$

Тогда

$$x_1=1,\quad y_1=3-1=2;$$

$$x_2=\frac32,\quad y_2=3-\frac32=\frac32.$$

Ответ: $$(1;2),\left(\frac32;\frac32\right).$$

б) Из первого уравнения:

$$y=2+x.$$

Подставим во второе:

$$x^3-(2+x)^3=-8.$$

Раскроем куб:

$$x^3-(x^3+6x^2+12x+8)=-8,$$

$$-6x^2-12x-8=-8,$$

$$6x^2+12x=0,$$

$$6x(x+2)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\quad x_2=-2.$$

Тогда

$$y_1=2+0=2,\quad y_2=2+(-2)=0.$$

Ответ: $$(0;2),(-2;0).$$

в) Из первого уравнения:

$$y=5-x.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Тогда

$$5(x^2-x(5-x)+(5-x)^2)=35.$$

Упростим:

$$5(x^2-5x+x^2+25-10x+x^2)=35,$$

$$15x^2-75x+125=35,$$

$$15x^2-75x+90=0,$$

$$x^2-5x+6=0.$$

$$D=25-24=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}.$$

Следовательно,

$$x_1=2,\quad y_1=3;$$

$$x_2=3,\quad y_2=2.$$

Ответ: $$(2;3),(3;2).$$

г) Из первого уравнения:

$$x=1-2y.$$

Подставим во второе:

$$2(1-2y)^2+3y(1-2y)-3y^2=6.$$

Раскроем скобки:

$$2-8y+8y^2+3y-6y^2-3y^2=6,$$

$$-y^2-5y+2=6,$$

$$y^2+5y+4=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm3}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=-4,\quad x_1=1-2(-4)=9;$$

$$y_2=-1,\quad x_2=1-2(-1)=3.$$

Ответ: $$(9;-4),(3;-1).$$