Упр.32.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$x^2-y^2=0$$; б) $$x^2+7xy-18y^2=0$$; в) $$x^2-3xy+2y^2=0$$; г) $$x^2+xy+y^2=0$$.

Рассмотрим каждое уравнение как произведение линейных множителей.

1. $$x^2-y^2=0$$

   $$\left(x+y\right)\left(x-y\right)=0$$

   Отсюда получаем две прямые:

   $$x+y=0,\qquad y=-x$$

   $$x-y=0,\qquad y=x$$

   График состоит из двух прямых $$y=x$$ и $$y=-x$$.

2. $$x^2+7xy-18y^2=0$$

   Представим левую часть в виде произведения:

   $$x^2-2xy+9xy-18y^2=0$$

   $$x\left(x-2y\right)+9y\left(x-2y\right)=0$$

   $$\left(x+9y\right)\left(x-2y\right)=0$$

   Следовательно,

   $$x+9y=0,\qquad y=-\frac{1}{9}x$$

   $$x-2y=0,\qquad y=\frac{1}{2}x$$

   График состоит из двух прямых $$y=-\frac{1}{9}x$$ и $$y=\frac{1}{2}x$$.

3. $$x^2-3xy+2y^2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-xy-2xy+2y^2=0$$

   $$x\left(x-y\right)-2y\left(x-y\right)=0$$

   $$\left(x-2y\right)\left(x-y\right)=0$$

   Отсюда

   $$x-2y=0,\qquad y=\frac{1}{2}x$$

   $$x-y=0,\qquad y=x$$

   График состоит из двух прямых $$y=\frac{1}{2}x$$ и $$y=x$$.

4. $$x^2+xy+y^2=0$$

   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:

   $$D=y^2-4y^2=-3y^2\ge 0$$

   Отсюда $$y^2=0$$, значит $$y=0$$.

   Подставим в уравнение:

   $$x^2+x\cdot 0+0^2=0$$

   $$x^2=0,\qquad x=0$$

   Следовательно, единственная точка графика — $$O(0;0)$$.

Ответ:

а) $$y=x$$ и $$y=-x$$;
б) $$y=\frac{1}{2}x$$ и $$y=-\frac{1}{9}x$$;
в) $$y=x$$ и $$y=\frac{1}{2}x$$;
г) $$O(0;0)$$.