Упр.32.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение $$|x|-(x+y)=0.$$

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем

$$x-(x+y)=0 \;\Rightarrow\; -y=0 \;\Rightarrow\; y=0.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда

$$-x-(x+y)=0 \;\Rightarrow\; -2x-y=0 \;\Rightarrow\; x=-\frac{y}{2}.$$

Чтобы решение было единственным, нужно, чтобы найденное значение $$x=-\frac{y}{2}$$ не попадало в случай $$x\ge 0.$$ Значит,

$$-\frac{y}{2}<0 \;\Rightarrow\; y>0.$$

При $$y=0$$ подходят все $$x\ge 0,$$ а при $$y<0$$ решений нет.

Ответ: $$x=\begin{cases}-\frac{y}{2}, & y>0,\\[4pt] [0;+\infty), & y=0,\\[4pt] \varnothing, & y<0.\end{cases}$$

б) Решим уравнение $$5|x|-|x+y|=0.$$

Имеем

$$5|x|=|x+y|.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и из равенства модулей получаем

$$5x=|x+y|.$$

Если при этом $$x+y\ge 0,$$ то

$$5x=x+y \;\Rightarrow\; 4x=y \;\Rightarrow\; x=\frac{y}{4}.$$

Если $$x+y<0,$$ то

$$5x=-(x+y) \;\Rightarrow\; 6x=-y \;\Rightarrow\; x=-\frac{y}{6}.$$

2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и аналогично получаем

$$5(-x)=|x+y|.$$

Проверка показывает, что единственное решение возможно при $$y=0,$$ тогда $$x=0.$$

Ответ: $$x=\frac{y}{4} \text{ или } x=-\frac{y}{6},$$ при условии согласования со знаками; единственное решение получается при $$y=0.$$

в) Рассмотрим уравнение $$|y+1|-(x-y)=0.$$

Если $$y\ge -1,$$ то $$|y+1|=y+1,$$ и

$$y+1-(x-y)=0 \;\Rightarrow\; y+1-x+y=0 \;\Rightarrow\; x=2y+1.$$

Если $$y<-1,$$ то $$|y+1|=-(y+1),$$ и

$$-(y+1)-(x-y)=0 \;\Rightarrow\; -y-1-x+y=0 \;\Rightarrow\; x=-1.$$

Чтобы решение было единственным, достаточно, чтобы для каждого $$y$$ получалось ровно одно значение $$x.$$ Это выполняется при всех $$y\in\mathbb{R}.$$

Ответ: $$x=\begin{cases}2y+1, & y\ge -1,\\[4pt]-1, & y<-1.\end{cases}$$

г) Решим уравнение $$|y|-|x|-2x-3y-4=0.$$

Рассмотрим случаи по знакам $$x$$ и $$y.$$

1. Если $$x\ge 0,\ y\ge 0,$$ то

   $$y-x-2x-3y-4=0 \;\Rightarrow\; 3x=-2y-4 \;\Rightarrow\; x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}.$$

2. Если $$x\ge 0,\ y<0,$$ то

   $$-y-x-2x-3y-4=0 \;\Rightarrow\; 3x=-4y-4 \;\Rightarrow\; x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}.$$

3. Если $$x<0,\ y\ge 0,$$ то

   $$y+x-2x-3y-4=0 \;\Rightarrow\; x=-2y-4.$$

4. Если $$x<0,\ y<0,$$ то

   $$-y+x-2x-3y-4=0 \;\Rightarrow\; x=-4y-4.$$

Проверяя согласование с условиями на знаки, получаем:

Ответ: $$x=\begin{cases}-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}, & y<-1,\\[4pt]-4y-4, & -1<y\le 0,\\[4pt]-2y-4, & y>0.\end{cases}$$