Упр.32.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решение

а) Рассмотрим неравенство

$$5\sqrt{3x-2y-4}+3\sqrt{2x+3y-7}\le 2.$$

Так как $$\sqrt{3x-2y-4}\ge 0$$ и $$\sqrt{2x+3y-7}\ge 0,$$ то левая часть неравенства неотрицательна. Чтобы она была не больше $$2,$$ достаточно, чтобы оба корня были равны нулю:

$$\begin{cases} 3x-2y-4=0,\\ 2x+3y-7=0. \end{cases}$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 3x-2y=4,\\ 2x+3y=7. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:

$$\begin{cases} 9x-6y=12,\\ 4x+6y=14. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$13x=26,\quad x=2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3\cdot 2-2y=4,\quad 6-2y=4,\quad y=1.$$

Проверка: $$5\cdot 0+3\cdot 0=0\le 2.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$4\sqrt{2x+3y}+3\sqrt{3x+4y}<3{,}5.$$

Левая часть неотрицательна, а правая часть меньше $$4.$$ Значит, чтобы сумма была меньше $$3{,}5,$$ оба корня должны быть равны нулю:

$$\begin{cases} 2x+3y=0,\\ 3x+4y=0. \end{cases}$$

Решим систему. Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:

$$\begin{cases} 6x+9y=0,\\ 6x+8y=0. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$y=0.$$

Тогда из $$2x+3y=0$$ получаем $$2x=0,$$ значит $$x=0.$$

Проверка: $$4\sqrt{0}+3\sqrt{0}=0<3{,}5.$$

Ответ

а) $$\left(2;1\right)$$; б) $$\left(0;0\right).$$