Упр.32.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\log_2(\cos^2 xy+\cos^{-2}xy)\le \frac{1}{y^2+2y+2}.$$

Обозначим $$t=\cos^2 xy.$$ Тогда $$0<t\le 1,$$ и

$$\cos^2 xy+\cos^{-2}xy=t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

Следовательно,

$$\log_2(\cos^2 xy+\cos^{-2}xy)\ge \log_2 2=1.$$

Теперь оценим правую часть:

$$y^2+2y+2=(y+1)^2+1\ge 1,$$

значит

$$\frac{1}{y^2+2y+2}\le 1.$$

Чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы обе части были равны $$1$$. Тогда

$$\log_2(\cos^2 xy+\cos^{-2}xy)=1,$$

то есть

$$\cos^2 xy+\cos^{-2}xy=2.$$

Это возможно только при

$$\cos^2 xy=1,$$

то есть

$$\cos xy=\pm 1 \quad \Rightarrow \quad xy=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Кроме того,

$$\frac{1}{y^2+2y+2}=1 \quad \Rightarrow \quad y^2+2y+2=1,$$

откуда

$$y^2+2y+1=0 \quad \Rightarrow \quad (y+1)^2=0 \quad \Rightarrow \quad y=-1.$$

Тогда из $$xy=\pi n$$ получаем

$$x=\frac{\pi n}{y}=-\pi n.$$

При $$n=0$$ получаем $$x=0$$, но тогда $$\cos xy=\cos 0=1$$, и равенство выполняется. Однако в записи ответа обычно указывают семейство решений в виде $$x=\pi n,\; y=-1$$ с учетом знака параметра; эквивалентно можно записать $$x=-\pi n,\; y=-1,\; n\in\mathbb Z.$$