Упр.32.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть

$$\sqrt{(x-2y+1)^2+1}+\sqrt{(3x-y-2)^2+25}=6.$$

Так как

$$\sqrt{(x-2y+1)^2+1}\ge 1,$$

то для равенства нужно, чтобы

$$x-2y+1=0.$$

Аналогично

$$\sqrt{(3x-y-2)^2+25}\ge 5,$$

значит,

$$3x-y-2=0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x-2y+1=0,\\ 3x-y-2=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$x=2y-1$$. Подставим во второе:

$$3(2y-1)-y-2=0,$$

$$6y-3-y-2=0,$$

$$5y=5,$$

$$y=1,\quad x=1.$$

Ответ: $$(1;1).$$

б) Пусть

$$\lg(1000-9x^2-4y^2+12xy)+\frac{1}{\pi}\arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)=4.$$

Так как

$$1000-9x^2-4y^2+12xy=1000-(3x-2y)^2\le 1000,$$

то

$$\lg(1000-9x^2-4y^2+12xy)\le \lg 1000=3.$$

Равенство достигается только при

$$3x-2y=0.$$

Кроме того,

$$-1\le (x+y-5)^2-1\le 0,$$

поэтому

$$0\le \arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)\le \pi,$$

и значит

$$0\le \frac{1}{\pi}\arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)\le 1.$$

Чтобы сумма была равна $$4$$, нужно, чтобы оба слагаемых достигали своих наибольших значений:

$$\begin{cases} 1000-9x^2-4y^2+12xy=1000,\\ \arccos\bigl((x+y-5)^2-1\bigr)=\pi. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} 3x-2y=0,\\ (x+y-5)^2-1=-1. \end{cases}$$

Отсюда

$$x+y-5=0.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} 3x-2y=0,\\ x+y-5=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$y=5-x$$. Подставим в первое:

$$3x-2(5-x)=0,$$

$$3x-10+2x=0,$$

$$5x=10,$$

$$x=2,\quad y=3.$$

Ответ: $$(2;3).$$