Упр.32.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств $$|x-y|\le 2,\quad |x+y|\le 2$$. Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена: а) ниже прямой $$y=1$$; в) правее прямой $$x=1$$; б) выше прямой $$y=0{,}5$$; г) выше параболы $$y=x^2$$.

Преобразуем систему:

$$\begin{cases} |x-y|\le 2,\\ |x+y|\le 2 \end{cases} \iff \begin{cases} -2\le x-y\le 2,\\ -2\le x+y\le 2 \end{cases} \iff \begin{cases} y\le x+2,\\ y\ge x-2,\\ y\ge -x-2,\\ y\le 2-x. \end{cases}$$

Множество решений — квадрат с вершинами $$(-2,0),\ (0,2),\ (2,0),\ (0,-2).$$ Его площадь:

$$S=2\cdot 2=8.$$

Ход решения

1. Ниже прямой $$y=1$$ лежит верхний треугольник квадрата. Его основание равно $$2-(-2)=4$$, высота — $$1$$, значит

   $$S_1=\frac12\cdot 4\cdot 1=2.$$

   Тогда искомая вероятность:

   $$P=\frac{S-S_1}{S}=\frac{8-2}{8}=\frac78.$$

2. Выше прямой $$y=0{,}5$$ расположен треугольник, подобный верхнему. Его высота равна $$2-0{,}5=1{,}5$$, а основание пропорционально высоте:

   $$\frac{S_2}{4}=\frac{1{,}5^2}{2^2}.$$

   Отсюда

   $$S_2=4\cdot \frac{1{,}5^2}{4}=\frac94.$$

   Вероятность:

   $$P=\frac{S_2}{S}=\frac{9/4}{8}=\frac{9}{32}.$$

3. Правее прямой $$x=1$$ находится треугольник у правой вершины квадрата. Его основание и высота равны $$1$$, поэтому

   $$S_3=\frac12\cdot 1\cdot 1=\frac12.$$

   Тогда

   $$P=\frac{S_3}{S}=\frac{1/2}{8}=\frac18.$$

4. Найдём площадь части квадрата, расположенной выше параболы $$y=x^2$$. По симметрии достаточно рассмотреть правую половину:

   $$S_4=2\int\limits_0^1 \bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx.$$

   Вычислим:

   $$S_4=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(2-\frac12-\frac13\right) =2\cdot \frac76 =\frac73.$$

   Искомая вероятность:

   $$P=\frac{S_4}{S}=\frac{7/3}{8}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

а) $$\frac78$$; б) $$\frac{9}{32}$$; в) $$\frac18$$; г) $$\frac{7}{24}$$.