Упр.32.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$yx+x+y+1=0$$

$$x(y+1)+(y+1)=0$$

$$(x+1)(y+1)=0$$

Отсюда либо $$x=-1$$, либо $$y=-1$$.

Если $$y\ne -1$$, то $$x=-1$$ — единственное решение.

Если $$y=-1$$, то уравнение превращается в тождество $$0=0$$, и решений бесконечно много.

Ответ: $$x=\begin{cases}-1, & \text{если } y\ne -1,\\ \mathbb{R}, & \text{если } y=-1.\end{cases}$$

б) $$y^2+(x+1)y+x=0$$

$$y^2+xy+y+x=0$$

$$x(y+1)=-(y^2+y)=-y(y+1)$$

$$(y+1)(x+y)=0$$

Отсюда либо $$x=-y$$, либо $$y=-1$$.

Если $$y\ne -1$$, то $$x=-y$$ — единственное решение.

Если $$y=-1$$, то уравнение превращается в тождество $$0=0$$, и решений бесконечно много.

Ответ: $$x=\begin{cases}-y, & \text{если } y\ne -1,\\ \mathbb{R}, & \text{если } y=-1.\end{cases}$$

в) $$yx+4x+2y+8=0$$

$$x(y+4)=-2(y+4)$$

$$(y+4)(x+2)=0$$

Отсюда либо $$x=-2$$, либо $$y=-4$$.

Если $$y\ne -4$$, то $$x=-2$$ — единственное решение.

Если $$y=-4$$, то уравнение превращается в тождество $$0=0$$, и решений бесконечно много.

Ответ: $$x=\begin{cases}-2, & \text{если } y\ne -4,\\ \mathbb{R}, & \text{если } y=-4.\end{cases}$$

г) $$y^2+5xy+4x^2=0$$

$$y^2+xy+4xy+4x^2=0$$

$$y(y+x)+4x(y+x)=0$$

$$(y+4x)(y+x)=0$$

Отсюда

$$y+4x=0 \quad \text{или} \quad y+x=0.$$

Значит,

$$x=-\frac{y}{4} \quad \text{или} \quad x=-y.$$

При $$y\ne 0$$ эти значения различны, поэтому решение не единственно. Единственное решение получается только при $$y=0$$, тогда оба значения совпадают: $$x=0$$.

Ответ: $$x=-\frac{y}{4};\ x=-y,\quad \text{единственное решение при } y=0.$$