Упр.32.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

а) $$x^2+y^2\leq 2\left(|x|+|y|\sqrt{3}\right)$$;

б) $$2\left(x^2+y^2\right)\leq |x|\sqrt{3}+|y|$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим первую четверть, где $$x \ge 0,\ y \ge 0.$$ Тогда

$$x^2+y^2 \le 2(x+y\sqrt3).$$

Приведём к виду уравнения окружности:

$$x^2-2x+y^2-2y\sqrt3 \le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt3\right)^2 \le 4.$$

Это круг радиуса $$2$$ с центром в точке $$\left(1;\sqrt3\right).$$ В первой четверти искомая часть состоит из полуокружности радиуса $$2$$ и прямоугольного треугольника с катетами $$2$$ и $$2\sqrt3.$$

Площадь в первой четверти:

$$S_1=\frac12\pi\cdot 2^2+\frac12\cdot 2\cdot 2\sqrt3=2\pi+2\sqrt3.$$

Так как фигура симметрична относительно обеих осей координат,

$$S=4S_1=4(2\pi+2\sqrt3)=8\pi+8\sqrt3.$$

б) Рассмотрим первую четверть, где $$x \ge 0,\ y \ge 0.$$ Тогда

$$2(x^2+y^2)\le x\sqrt3+y,$$

$$x^2+y^2-\frac{\sqrt3}{2}x-\frac12 y \le 0.$$

Дополняем до квадратов:

$$\left(x-\frac{\sqrt3}{4}\right)^2+\left(y-\frac14\right)^2 \le \frac14.$$

Это круг радиуса $$\frac12$$ с центром в точке $$\left(\frac{\sqrt3}{4};\frac14\right).$$ В первой четверти искомая часть состоит из полуокружности радиуса $$\frac12$$ и прямоугольного треугольника с катетами $$\frac{\sqrt3}{2}$$ и $$\frac12.$$

Площадь в первой четверти:

$$S_1=\frac12\pi\left(\frac12\right)^2+\frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac12=\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt3}{8}.$$

Тогда полная площадь:

$$S=4S_1=4\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt3}{8}\right)=\frac{\pi}{2}+\frac{\sqrt3}{2}.$$